Интегрирование обобщенных функций (метод спуска)

Допустим, что функция локально интегрируема и интеграл сходится и является локально интегрируемой функцией по переменной . Тогда новая функция может быть рассмотрена как регулярная обобщенная функция. Таким образом, мы совершили переход от обобщенной функции , определенной на пространстве , к обобщенной функции , действующей на пространстве . Опишем теперь способ распространения этой операции на более широкий класс обобщенных функций.

Предположим, что − обобщенная функция, для которой существует предел

(43.1)

для любой последовательности основных функций таких, что . Здесь − произвольная пробная функция. Ясно, что при по крайней мере поточечно. По теореме о полноте пространства обобщенных функций мы заключаем, формула (43.1) определяет обобщенную функцию, принадлежащую пространству . Эту новую обобщенную функцию обозначим . Таким образом,

. (43.2)

Будем говорить, что новая обобщенная функций получена из обобщенной функцией методом спуска по переменной (или обобщенным интегрированием по переменной ). Фактически, в этом случае мы видим, что функционал допускает продолжение на функции вида , где , т.е. помимо записи (43.2) мы вправе использовать также следующую:

. (43.3)

Теорема 43.1. Пусть − локально интегрируемая функция, причем пусть сходится и также является локально интегрируемой функцией по переменной . Тогда функция также является локально интегрируемой.

Доказательство. Имеем

(по теореме Лебега можно внести предел под знак интеграла)

.

■

Теорема 43.2. Пусть , где . Тогда .

Доказательство.

.

■

Теорема 43.3. Пусть − решение задачи

. (43.4)

Предположим, что допускает спуск по переменной . Тогда − решение уравнения

, (43.5)

где получено из выражения «занулением» всех членов, в которые входят производные по переменной .

Доказательство. Зафиксируем последовательность . Заметим, что для . Тогда для всех и . Следовательно, последовательность можно вставлять вместо функции в формулах (43.1) или (43.2). Поэтому получаем

для всех . Отсюда

.

■

Следствие 43.4. Пусть − фундаментальное решение оператора и существует , т.е. допускает спуск по переменной . Тогда − фундаментальное решение оператора . ■

В частности, если − локально интегрируемая функция, для которой также является локально интегрируемой функцией, то функция есть фундаментальное решение оператора .

Задача 43.5. Найдем фундаментальное решение волнового уравнения для .

Решение. Воспользуемся методом спуска. Для этого рассмотрим , . Проведем спуск по переменной . Заметим, что

− сингулярная обобщенная функция. Имеем

.

Воспользуемся теоремой о предельном переходе под знаком интеграла:

.

Напомним, что − сфера радиуса . Далее .

Итак, мы приходим к формуле:

. (43.6)

Задача 43.6. Вывести формулу фундаментального решения волнового оператора для методом спуска.

Решение. Так как − локально интегрируема, то согласно следствия 43.4 Так как , то мы приходим к уже известной нам формуле (см. формулу (43.5)):

− вместо мы записали просто .