Зависимость функции от

Определение 46.1. Пусть функция , . Определим функцию , где и .

По теореме о полноте пространства функция является линейным непрерывным функционалом, т.е. обобщенная функцией на . Пусть , положим по определению

. (46.1)

Определение 46.2. Функция , если для любого функция − регулярная обобщенная функция класса .

Аналогично определяются условия и .

Лемма 46.3. .

Доказательство.

.

■

Теорема 46.4. Для выполнено . Кроме того, при выполнено

1) ,

2) ,

3) .

Доказательство. При : ,

,

.

Случай – рассмотреть самим.

Пусть .

.

Имеем

.

Следовательно, . Кроме того,

.

, так как - основная функция.

Тогда .

.

, так как - основная функция и поэтому интеграл является непрерывной функцией по .

Обозначим , тогда .

Заметим, что . Т.о. функция является четной. Следовательно, - непрерывная нечетная функция, и поэтому .

■

Замечание 46.5. В отличие от фактов, изложенных в последней теореме, про поведение третьей производной в точке 0 ничего конкретного нельзя. Например, при :

.