Тепловые потенциалы

Мы видели в предыдущем параграфе, что классическая задача Коши сводится к уравнению (47.3) в пространстве обобщенных функций, причем согласно формуле (47.4) правая часть имеет вид:

.

Поскольку уравнение теплопроводности является линейным уравнением, то уравнение (47.3), т.е.

можно разбить на два уравнения:

, (48.1)

. (48.2)

Решения этих уравнений называются тепловыми потенциалами. Ясно, общее решение является их суммой.

Определение 48.1. Функция вида , где является регулярной обобщенной функцией и при , называется объемным тепловым потенциалом.

Теорема 48.2. Пусть − локально интегрируемая функций, которая равна 0 при и является ограниченной на множестве для каждого .

Тогда функция существует и является локально интегрируемой функцией, ограниченной на каждой полосе вида и удовлетворяет следующим условиям:

, (48.3)

, (48.4)

при . (48.5)

Замечание 48.3. Если потребовать, чтобы , то .

Доказательство. По условию − локально интегрируемая функция. Кроме того, мы знаем, что функция также является локально интегрируемой функцией (см. §41). Значит, их свертка может быть записана в виде

Если подставить в последнюю формулу явный вид для фундаментального решения , то получим формулу (48.3). Учитывая, что функция неотрицательна и интеграл от нее по по всему равен 1, получаем

т.е. формулу (48.4). Теперь пусть . По условию − величина конечная, следовательно, из неравенства (48.4) получаем , т.е. условие (48.5).

Заметим также, что при , поскольку подобным свойством обладают функции и . Из неравенства (48.5) следует при . ■

Определение 48.4. Функция вида , где является регулярной обобщенной функцией, называется поверхностным тепловым потенциалом.

Теорема 48.5. Пусть функция ограничена и измерима на . Тогда

, (48.6)

. (48.7)

Если функция непрерывна, то и выполнено

. (48.8)

Доказательство. Введем функцию . Очевидно, что при . Имеем

,

что доказывает неравенство (48.7). Из него следует, что − ограниченная функция, следовательно, она является измеримой и локально интегрируемой. Формула (48.6) получается из определения свертки и вида фундаментального решения оператора теплопроводности.

Допустим теперь, что − непрерывная функция. Тогда

.

Зафиксируем теперь точку . Поскольку − непрерывная функция, то для , следовательно,

.

Первый интеграл не превосходит 1. Если во втором интеграле сделаем замену , , то

Очевидно, что , следовательно, если , то . ■

Подведем теперь итог.

Теорема 48.6. Пусть функции и непрерывны и ограничены для всех и . Решение классической задачи Коши

существует, единственно и может быть записано в виде суммы двух потенциалов:

. (48.9)

■

Теорема 48.7. Классическая задача Коши для уравнения теплопроводности является корректно поставленной задачей, т.е. «малое» изменение правой части и начальных условий приводит к малому изменению решений.

Доказательство. Рассмотрим новую задачу Коши, в которой правая часть является функцией и начальное условие − функцией , причем пусть

,

.

Тогда из формул (48.4) и (48.7) и (48.9) следует

,

Что и требовалось доказать.