Постановка обобщенной задачи Коши для уравнения теплопроводности

Классическая задача Коши для уравнения теплопроводности имеет вид:

(47.1)

По смыслу правая часть определена при и решение должна быть функцией, определенной при и удовлетворяющей условиям задачи (47.1). Будем считать функцию непрерывной. От решения предполагаем, что . Продолжим эти функции на пространство , полагая

и

Вообще говоря, по переменной эти функция имеет разрыв 1-го рода в точке 0. Заметим теперь, что задачу Коши нельзя. Ее напрямую рассматривать в пространстве обобщенных функций, т.к. для обобщенной функции не определено значение при . Следующая теорема описывает «перевод» задачи (47.1 на язык обобщенных функций.

Теорема 47.1. Пусть функция является классическим решением задачи (47.1). Тогда функция

(47.2)

является решением уравнения

(47.3)

в пространстве обобщенных функций, где

. (47.4)

Доказательство. По условию функция является классическим решением задачи (47.1) и, в частности, она непрерывно дифференцируема по при и дважды непрерывно дифференцируема по . Функция имеет по переменной разрыв первого рода, применим предложение 25.10:

,

т.к.

.

С другой стороны, очевидно, что . Из приведенных формул легко следует утверждение теоремы. ■

Определение 47.2. Обобщенной задачей Коши для уравнения теплопроводности называется уравнение

, (47.5) в котором является такой обобщенной функцией, что при .

Следствие 47.3. Классическое решение задачи Коши для уравнения теплопроводности является и его обобщенным решением. ■

Для дальнейшего нам понадобится еще одна теорема о существовании свертки, которая является обобщением и соединением теорем 32.1 и 32.2.

Теорема 47.4. Пусть , причем

(47.6)

(47.7)

Тогда свертка существует в .

Доказательство см. в книгах В.С.Владимирова.

Из теорем 39.7 и 47.4 вытекает следующее утверждение.

Теорема 47.5. Пусть , причем при . Тогда решение обобщенной задачи Коши (47.3)-(47.4) существует и оно может быть записано в виде , где есть фундаментальное решение уравнения теплопроводности. ■