Фундаментальное решение для оператора Лапласа

По определению мы имеем

. (44.1)

Как и в случае волнового оператора нам удобнее будет записывать фундаментальное решение как в случае .

Теорема 44.1. Имеют место формулы

(44.2)

При

, (44.3)

где - площадь поверхности сферы единичного радиуса в .

Доказательство. Ограничимся случаем , т.е. формулой:

. (44.4)

Остальные случаи рассматриваются аналогично. Имеем

(по формуле Грина для оператора Лапласа) =

.

Вычислим отдельно каждый из интегралов:

1) , т.к. функция является гармонической всюду, кроме начала координат.

2) при .

3) (по теореме о среднем значении) .Из этих формул получаем требуемое утверждение.