Фундаментальное решение оператора теплопроводности

Мы знаем, что данный оператор задан следующим образом

, (41.1)

где , . Найдем его фундаментальное решение :

. (41.2)

Нам известно, что (см. пример 29.2). Применим преобразование Фурье по переменной к обеим частям равенства (41.2):

. (41.3)

Применяя известные нам свойства преобразования Фурье (§34), получим

.

.

.

.

.

Следовательно,

. (41.4)

Обозначим . Тогда

, (41.5)

т.е эту функцию можно рассматривать как фундаментальное решение обыкновенного дифференциального оператора первого порядка (по переменной ). Результат примера 40.2 означает

. (41.6)

Очевидно, что данная функция является локально интегрируемой. Применим теперь обратное преобразование Фурье:

. (41.7)

Теорема 41.1. Функция является фундаментальным решением уравнения теплопроводности (41.1).

Доказательство. Случай 1. . Нам достаточно установить формулу

. (41.8)

В самом деле, при мы получаем нужную нам формулу. Имеем

. Докажем, что = .

Функция является аналитической. Рассмотрим замкнутый контур , который будем обходить против часовой стрелки. Тогда

.

Рассмотрим отрезок . Имеем , , поэтому

.

Аналогично .

Тогда .

Следовательно, . Из всех перечисленных фактов заключаем, что

.

■

Случай 2. . Имеем и . Следовательно,