Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Одной из основных задач математической статистики является оценка неизвестных параметров, характеризующих распределение генеральной совокупности . Совокупность независимых случайных величин , каждая из которых имеет то же распределение, что и случайная величина называют случайной выборкой объёма из генеральной совокупности и обозначают . Любую функцию случайной выборки называют статистикой.
Если функция распределения генеральной совокупности известна с точностью до параметра , то его точечной оценкой называют статистику , значение которой на данной выборке принимают за приближённое значение неизвестного параметра : .
Чтобы точечные оценки давали «хорошее» приближение оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определённым требованиям. «Хорошей» считается оценка, обладающая свойствами состоятельности, несмещённости и эффективности.
Оценка называется: 1) состоятельной оценкой параметра , если при неограниченном увеличении объёма выборки она сходится по вероятности к оцениваемому параметру, т.е. ; 2) несмещённой (оценкой без систематических ошибок), если её математическое ожидание при любом равно оцениваемому параметру, т.е. ; 3) эффективной (в некотором классе несмещённых оценок), если она имеет минимальную дисперсию в этом классе.
Пусть распределение генеральной совокупности известно с точностью до вектора параметров и требуется найти значение его оценки по выборке .
Оценкой метода моментов вектора параметров называют статистику значение которой для любой выборки удовлетворяет системе уравнений:
, ,
где - теоретические начальные моменты -го порядка случайной величины , - эмпирические начальные моменты -го порядка выборки . В систему уравнений метода моментов могут входить и уравнения вида , где - теоретические центральные моменты -го порядка случайной величины , эмпирические центральные моменты -го порядка выборки . Часто для нахождения значения оценки одного параметра используют первый начальный момент, а для нахождения значений оценок двух параметров – первый начальный и второй центральный моменты.
Оценкой метода максимального правдоподобия вектора параметров называют статистику значение которой для любой выборки удовлетворяет условию: , где - функция правдоподобия выборки , - множество всех возможных значений вектора параметров .
Функция правдоподобия имеет вид:
1) - для дискретной случайной величины ;
2) - для непрерывной случайной величины .
Если функция дифференцируема как функция аргумента для любой выборки и максимум достигается во внутренней точке , то значение точечной оценки максимального правдоподобия находят, решая систему уравнений максимального правдоподобия: , . Нахождение упрощается, если максимизировать не саму функцию правдоподобия, а её логарифм , так как при логарифмировании точки экстремума остаются теми же, а уравнения, как правило, упрощаются и записываются в виде: , .
По выборке объёма из генеральной совокупности найдено значение смещённой оценки генеральной дисперсии. Найти значение несмещённой оценки дисперсии генеральной совокупности, если: а); б).
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 363 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!