Примеры. Пример 4.1. Определить нормальные напряжения sх и sу в точке на верхней поверхности прямоугольной пластины

Пример 4.1. Определить нормальные напряжения s_х и s_у в точке на верхней поверхности прямоугольной пластины, испытывающей изгиб от мо­ментов М = 0,014 Мн×м, распределенных по кромках AD и ВС (рис. 74). Опре­делить радиус кривизны r изогнутой срединной поверхности и наибольший прогиб w. Е = 2×10⁵ Мн/м²; m = 0,27.

Рис. 74

Решение. Отношение сторон пластины Следова­тельно, напряжения в средней части пролета можно вычислить по формулам цилиндрического изгиба.

Погонный изгибающий момент по кромкам AD и ВС

.

Напряжения по формулам (4.21) и (4.22)

Такие же напряжения будут во всех точках верхней поверхности в пределах цилиндрического изгиба.

Цилиндрическая жесткость

Кривизна срединной поверхности по формулам (4.15) и (4.19)

поэтому дифференциальное уравнение изо­гнутой срединной поверхности

или

Два последовательных интегрирова­ния дифференциального уравнения дают

(4.67)

Условия для определения произволь­ных постоянных: 1) х = 0, w = 0 (про­гиб по кромке AD отсутствует); 2) х = 0,30 м, (касательная к изогну­той срединной поверхности в середине пролета горизонтальна). Из первого усло­вия следует, что С₂ = 0. Из второго условия откуда

Подставляя найденные значения С₁ и С₂ в уравнение прогибов (4.67), получаем

Наибольший прогиб при х = 0,30 м

.

Пример 4.2. Для заданной схемы круглой пластины (рис. 75, а) построить эпюру погонных радиальных изгибающих моментов. Коэффициент поперечной деформации m = 0,13; модуль продольной упругости Е = 2×10⁶ н/см².

а б в

Рис. 75

Решение. Заданная схема отличается от схемы, для которой выведены фор­мулы (4.40) и (4.41), тем, что на окружности радиусом а = 30 см нет равномерно распределенной нагрузки. Если эту нагрузку приложить, то для сохра­нения заданных условий нужно уравновесить ее аналогичной нагрузкой, при­ложенной снизу (рис. 75, б), которую можно заменить равнодействующей сосре­доточенной силой на оси симметрии пластины. Кроме того, на этой оси действует реакция R, равная весу нагрузки, лежащей на пластине,

.

Полная сосредоточенная сила на оси пластины

(4.68)

Знак минус введен потому, что сила Р направлена снизу вверх.

Таким образом, выражения (4.40) и (4.41) для j и w могут быть исполь­зованы для схемы на рис. 75, а, если вместо Р подставить в них выражение (4.68). Интенсивность нагрузки q = 4000 н/м² = 0,4 н/см².

Уравнение углов поворота

.

В формулу (4.31) для радиального момента входит

,

При подстановке этих выражения в формулу (4.31) получаем

Цилиндрическая жесткость

.

Так как

то получим

Момент

угол

Условия для определения произвольных постоянных: 1) х = а, j = 0; 2) х = b, M_r = 0. Из первого условия

После выполнения арифметических действий

Из второго условия

После выполнения арифметических действий

Совместное решение уравнения (4.69) и (4.70) дает значения произвольных постоянных:

Подставив значения D и найденные значения произвольных постоянных в выражение для изгибающего момента M_r, получим

Подставляя последовательно значения х через 20 см в это уравнение, можно найти значения радиальных моментов (табл. 3). По этим ординатам построена эпюра радиальных моментов (рис. 75, в).

Таблица 3

Номер точки	х	х2	lnx	6,342 (2,26lnx+0,87)	0,00046x2		Mr нсм/см
			3,401	54,2	0,414	18,853	-5310
			3,912	61,5	1,150	6,787	-2140
			4,248	66,3	2,254	3,463	-960
			4,500	69,7	3,726	2,094	-400
			4,700	72,9	5,566	1,402	-51
			4,847	74,9	7,774	1,004	-19
			5,011	77,3	10,350	0,754

Пример 4.3. Определить радиус кри­визны r изогнутой срединной поверхности круг­лой пластины толщиной h = 20 мм (рис. 76, а), если температура t₂ на ее нижней поверхности изменилась от нуля до +100 ° С, а температура t₁ на верхней поверхности - от нуля до +10 ° С.

Определить наибольший изгибающий момент и на­пряжения, которые возникнут в пластине. Коэф­фициент линейного температурного расширения a = 0,000012; Е = 2 × 10⁵ Мн/м²; m = 0,28.

а	б
в

Рис. 76

Решение. Изменение температуры по толщине пластины (рис. 76, в)

.

Относительная температурная деформация нижнего или верхнего волокна по формуле (4.44)

Кривизна изогнутой срединной поверхности по формуле (4.45)

Радиус кривизны

Напряжения, возникающие в пластине при изменении температуры, равны напряжениям, которые возникнут, если приложить по контуру пластины ра­диальные изгибающие моменты (рис. 76, б), вычисляемые по формуле (4.46),

.

Напряжение на поверхности

Ту же величину напряжения s можно получить по формуле (4.47).

Пример 4.4. Составить выражение для температурных напряжений в сплошной круглой свободной на контуре пластине, температура которой па­дает от центра к наружному контуру по квадратичному закону

Определить наибольшее окружное нормальное напряжение при следующих данных: Е= 2×10⁵ Мн/м², температура в центре t₀= +100 ° С, на наружном контуре (х = b) t_b, = +20 ° С.

Решение. Граничные условия: 1) х = 0, t = t₀; 2) х = b, t = t_b. Условия для определения произвольных постоянных С₁ и С₂ следующие.

1. Перемещение и в центре пластины равно нулю. Следовательно, при х = 0 и = 0 и из формулы (4.51) С₂ = 0.

2. На наружном контуре радиальный момент M_r = 0, и, следовательно, радиальные напряжения s_r отсутствуют. Поэтому при х = b s_r = 0 и из фор­мулы (4.52)

Если учесть в этом выражении заданный закон изменения температуры и произвести интегрирование, то

.

Поэтому по формулам (4.52) получаются следующие выражения для напря­жений:

.

или, в окончательном виде,

. (4.71)

На основании уравнений (4.71) можно заключить, что напряжения s_r во всех точках сжимающие (отрицательные), так как выражение в скобках (t₀ – t_b)положительно, а . Напряжение же s_T может быть и положительным. Это наибольшее (положительное) напряжение s_T получится при наибольшем отрицательном значении при х = b:

Пример 4.5. Определить радиальный и окружной изгибающие мо­менты и, пользуясь третьей теорией прочности, расчетные напряжения на ниж­ней поверхности в центре круглой стальной крышки, опертой по контуру и на­груженной равномерно распределенной внешней нагрузкой (рис. 77).

Определить величину прогиба в центре крышки. Наружный радиус пластины r =200 мм, толщина h =10 мм; интенсивность равномерно распределенной на­грузки q =12 н/см²; E =2×10⁷ н/см²; m = 0,3.

Решение. По формулам (4.40) и (4.41), полагая в них Р = 0, находим уравне-ния углов j и прогибов w:

(4.72)

.

Граничные условия для пластины с опер­тыми краями: 1) х = 0, j = 0; 2) х = r, w = 0; 3) х = r, M_r = 0. Из первого условия находим или С₂= 0. Из второго условия получаем уравнение с двумя неизвестными C₁ и С₃

. (4.73)

Рис. 77

Для использования третьего условия составим выражение радиального изги­бающего момента [см. формулу (4.31)]

. (4.74)

Дифференцируя (4.72) и учитывая, что C₂ = 0, находим

.

Подставляя это выражение и выражение (4.72) в формулу (4.74), получаем

.

На основании третьего условия

Отсюда произвольная постоянная

.

Подставляя это значение C₁ в уравнение (4.73), получаем произвольную по­стоянную

.

При найденных произвольных постоянных выражение для радиального изгибающего момента примет вид:

. (4.75)

Окружной изгибающий момент [см. формулу (4.31)] выразится так:

(4.76)

Из выражений (4.75) и (4.76) видно, что наибольшие значения радиального и окруж­ного изгибающих моментов M_r и M_T получаются при х = 0, т. е. в центре пла­стины.

.

Соответствующие напряжения на нижней поверхности пластины растягива­ющие:

.

Главные напряжения s₁ = s₂ = 5940 н/см², s₃ = 0, поэтому, на осно­вании третьей теории прочности, расчетное напряжение

.