Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластины в прямоугольных координатах

В общем случае изгиба пластины произвольного очертания нагрузкой q (х, у), распределенной на ее поверхности по произвольному закону (рис. 47),

Рис. 47

по граням прямоугольного элемента, имеющего размеры dx и dy в плане, выделенного из пластины двумя парами сече­ний, действуют погонные изги­бающие моменты М_х и M_у, по­гонные поперечные силы Q_x и Q_y и погонные крутящие моменты Н_x и Н_y (рис. 48).

Возникновение крутящих моментов можно объяснить так. Если рассечь опертую по контуру пластину на ряд полос /, 2, 3,.... (рис. 49, а), каждая из которых представляет собой балку, опертую по концам, то сила Р, приложенная к точ­ке А пластины, вызовет прогиб только той балки 2, к ко­торой относится точка А. В пластине, не рассеченной на полосы, полоса 2 поддерживается соседними полосами 1 и 3, которые в свою очередь испытывают со стороны полосы 2 направленные вниз усилия Р' (рис. 49, б). Со стороны примыкающих к полосам 1 и 3 частей а пластины эти полосы испытывают поддерживающее усилие Р". Усилия Р' и Р", действующие на каждую из полос 1 и 3, можно привести к равнодействующей R, приложенной в центре тяжести сечения полосы, и к паре Н, скручивающей полосу (рис. 49, б).

Рис. 48

а	б в

Рис. 49

Задачу решаем в перемеще­ниях. Из первого допущения теории пластин о возможно­сти пренебречь относительными сдвигами g_хz и g_yz,

(4.3)

На основании второго допу­щения w не зависит от z. Инте­грируя равенства (4.3) по z, на­ходим

или, так как при z = 0 у нас u = v = 0,

(4.4)

С учетом зависимостей (4.4) относительные деформации выразятся через перемещение w следующим образом:

. (4.5)

Так как на основании второго допущения напряжением s_z можно пренебречь, из формул (1.20) закона Гука, полагая s_z = 0 и учитывая выражения (4.5), получаем

(4.6)

, (4.7)

. (4.8)

Пользуясь дифференциальными уравнениями равновесия (1.2), можно найти также напряжения . Хотя мы услови­лись считать их малыми, но производные этих напряжений, вхо­дящие в уравнения (1.2), не малы, так как по толщине пластины напряжения изменяются резко. Из первых двух уравнений (1.2), пренебрегая проекциями объемных сил и интегрируя по z, получаем

.

Функции f₁ и f₂ находим из граничных условий, составленных для нижней и верхней граней пластины: при Тогда

.

Из третьего уравнения (1.2) следует

. (4.9)

Нагрузка интенсивностью q (x, у) приложена к верхней грани пластины и направлена вниз, т. е. напряжение s_z - сжимающее. Поэтому для определения функции f₃ (x, у) можем написать гра­ничные условия:

(4.10)

Из первого условия найдем функцию f₃ (x,y) и, подставив ее в (4.9), получим

.

Подставив это выражение во второе условие (4.10), получим диф­ференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пла­стины

, (4.11)

где

(4.12)

- цилиндрическая жесткость пластины, аналогичная жесткости EJ балки, характеризующая способность пластины деформиро­ваться. Размерность цилиндрической жесткости представляет со­бой произведение единицы силы на единицу длины. По величине D >EJ.

Уравнение (4.11) может быть сокращенно записано через опера­тор Лапласа:

Первый член, стоящий в скобках уравнения (4.11), учиты­вает прогиб, зависящий от изгиба в плоскости хz, третий член - в плоскости yz, а второй — прогиб, зависящий от кручения.

Решение уравнения (4.11) дает уравнение изогнутой средин­ной поверхности пластины

Если оно найдено, погонные изгибающие и крутящие моменты и поперечные силы, приходящиеся на единицу длины кромки пластины, определяют исходя из условий равновесия полосы пластины шириной, равной единице (рис. 50).

Составим условие равновесия моментов относительно оси у и подставим в него значение s_x из формулы (4.6):

.

Рис. 50

Отсюда, с учетом формулы (4.12), для погонного изгибающего момента получим

. (4.13)

Аналогично из условия найдем погонный изгибающий момент

. (4.14)

При действии одних только по­гонных изгибающих моментов М_х и M_у (рис. 51) пластина испытывает чистый изгиб в двух взаимно перпендикулярных

Рис. 51

направлениях. Срединная плоскость ее превращается в изогнутую поверхность с главными радиусами кривизны r₁ (в сечении плоскостью, параллельной плоскости х0z) и r₂ (в сечении плоскостью, параллельной плоскости у0z). Соответствующие глав­ные кривизны срединной поверхности

. (4.15)

Составим, учитывая (4.8), условия равенства крутящих моментов сумме моментов усилий, возникающих от напряжений , и найдем погонные крутящие моменты:

. (4.16)

При действии одних только погонных крутящих моментов пластина испытывает чистое кручение.

Составим, учитывая (4.8), условия равенства проекций попереч­ных сил сумме проекций усилий, возникающих от напряжений (рис. 52).

Рис. 52

Найдем погонные поперечные силы:

. (4.17)