Определение усилий в мембранах. Цепные усилия и напряжения

Мембрана обладает малой жесткостью на изгиб и поэтому обычно рассчитывается лишь на действие цеп­ных продольных усилий N_х и N_у в срединной плоскости и на вызы­ваемые ими равномерно рас­пределенные по толщине на­пряжения. Прогибы w мем­браны составляют обычно не менее пяти толщин h и в боль­шую сторону не ограничива­ются.

Реактивные усилия S на закрепленном контуре (рис. 72) направлены по касатель­ной к изогнутой срединной поверхности мембраны. Они могут быть разложены на со­ставляющие: вертикальную S_z и горизонтальную S_x. Нали­чие горизонтальной соста­вляющей реактивного усилия (распора), возникающей при действии вертикальной на­грузки, - особенность мем­браны по сравнению с пла­стиной средней толщины и плитой.

Рис. 72

Дифференциальные уравнения изогнутой поверхности мем­браны получаются из дифференциальных уравнений (4.26) для пластины, у которой прогиб превышает половину толщины, если положить в них цилиндрическую жесткость D равной нулю. Так как в выражении цилиндрической жесткости модуль упруго­сти Е нулю не равен, она будет равна нулю, если дробь можно считать пренебрежимо малой.

Функцию прогибов w и функцию напряжений j в мембране можно найти из системы двух уравнений

. (4.53)

Уравнения (4.53) решаются приближенно. Если функция j найдена, выражения для растягивающих цепных усилий N_x и N_y в мембране могут быть вычислены по формулам

, (4.54)

а соответствующие цепные напряжения найдены из выражений

.

Изгибающие и крутящие моменты, а также перерезывающие силы и соответствующие им напряжения в мембране отсутствуют.