Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности круглой пластины

Это уравнение может быть получено из уравнения (4.11) путем преобразования его на основании формул перехода от прямо­угольных коорди-нат к полярным. Применительно к осесимметричной задаче той же цели можно достигнуть при непосредственном рассмотрении элемента круглой пластины. Для этого выделим из круглой пластины толщиной h, испытывающей распределенную нагрузку, симметричную относительно центральной оси z, двумя радиальными сечениями, составляющими между собой угол dq, и двумя окружными сечениями с радиусами х и х + dx элемент, заштрихованный на рис. 61 и показанный отдельно на рис. 62. Этот элемент подвергается действию не показанной на рис. 62 распределенной нагрузки, погонных поперечных сил Q и Q + dQ и погон­ных изгибающих радиальных момен­тов M_r и М_r + dM_r по окружным сечениям, а также погонных окруж­ных изгибающих моментов М_T по ра­диальным сечениям.

Рис. 61	Рис. 62

В силу симметрии нагрузки отно­сительно центральной оси z попереч­ные силы по радиальным сечениям отсутствуют, а погонные изгибающие моменты М_T одинаковы. На рис. 62 показаны изгибающие моменты, гну­щие пластину выпуклостью вниз. Значения моментов приняты положительными.

Для составления уравнения рав­новесия элемента изгибающие момен­ты, действующие по граням элемента, изображаются в виде векторов (рис. 63). Стрелка вектора, перпендикулярного к плоскости действия мо­мента, направле-на в ту сторону, с ко­торой вращение момента представля­ется происходящим по часовой стрел­ке. Приравняем нулю сумму проекций всех сил, действующих на вырезанный элемент, на ось Т, перпендикулярную к биссек­трисе, делящей угол dq пополам.

Рис. 63

При составлении уравнения моментов можно пренебречь ввиду малости элемента неравномерностью расположенной на нем на­грузки и моментом, вызванным приращением dQ поперечной силы в радиальном направлении. Поэтому поперечные силы, действую­щие по граням элемента, сводятся к моменту с плечом dx, который изображается вектором Qxdqdx, параллельным оси Т. Умноже­ние всех погонных усилий на длину грани, по которой они дей­ствуют, проектирование этих усилий на ось Т и приравнивание суммы проекции нулю дает выражение

. (4.33)

В уравнении (4.33) синус угла ввиду малости заменен углом . После сокращения на dq, раскрытия скобок и отбрасывания члена dM_r dx высшего порядка малости уравнение (4.33) принимает вид

или, после деления всех членов на х dx,

. (4.34)

Подстановка в уравнение (4.34) выражений для М_к, М_Т и через j по формулам (4.31) и (4.32) приводит к уравнению

. (4.35)

Уравнение (4.35) представляет собой дифференциальное уравнение равновесия изогнутой срединной поверхности круглой пластины, выраженное через угол j, составляемый касательной к изогнутой срединной поверхности с осью х.

Если в этом уравнении на основании (4.28) заменить j на , можно получить другой вид дифференциального уравнения относительно вертикаль-ного перемещения w

.

Погонная поперечная сила в круговом сечении радиусом х на основании рис. 64 при распределенной нагрузке

.

Рис. 64

Интегрируя дифференциальное уравнение (4.35), можно найти уравнение углов j, а затем, на основании зависимости (4.28), и уравнение прогибов w в виде функции от х. Произ­вольные постоянные, входящие в эти уравнения, находятся из граничных условий на контуре пластины или на границе двух соседних участков. При подста­новке найденных выражений для j или w в уравнения (4.31) находят выражения для радиального и окружного изгибающих момен­тов в виде функции от х. По этим выражениям могут быть построены эпюры изгибающих мо­ментов и найдены их наибольшие значения.

Пусть на круглую пластину (рис. 65) действуют направленные вниз равномерно распределенная нагрузка q и центральная сила Р. По наружному контуру радиусом r приложены произвольно на­правленные распределенные погонные силы Р₀ и погонные из­гибающие моменты М₀. Составим уравнения

Рис. 65

углов j и прогибов w. Для возможности интегрирования левую часть уравнения (4.35) необходимо преобразовать следую­щим образом:

. (4.36)

Приравняв суммарную поперечную силу по контуру радиу­сом х, равную Q2px (рис. 66), всей нагрузке, помещающейся на круге радиусом и равной Р + q×pх², найдем погонную попереч­ную силу

. (4.37)

Рис. 66

Замена выражений, стоящих в левой и правой частях уравнения (4.35) соответствующими выражениями (4.36) и (4.37), приводит к легко интегрируемому дифференциальному урав­нению

. (4.38)

Первое интегрирование выражения (4.38) дает

. (4.39)

Второе интегрирование выражения (4.39) дает

. (4.40)

Уравнение (4.40) называется уравнением углов, составляе­мых касательной к изогнутой срединной поверхности с осью х или уравнением углов поворота нормали к изогнутой срединной поверхности. После подстановки в уравнение (4.40) вместо j величины на основании формулы (4.28) и умножения обеих ча­стей уравнения на dx, оно получает вид

.

Интегрирование дает

. (4.41)

Уравнение (4.41) называется уравнением прогибов или урав­нением изогнутой срединной поверхности пластины.