Условия прочности

Так как число произвольных постоянных в уравнении (4.41) равно трем, то для нахождения постоянных С следует составить следующие три граничные условия:

- для защемленной кромки пла­стины (рис. 67, а) 1) х = r, w = 0; 2) x = r, j = 0; 3) x = 0, j = 0;	а
- для свободно опертой кромки пластины (рис. 67, б) 1) х = r, w = 0; 2) x = r, Mr = 0; 3) x = 0, j = 0;	б
- для свободной кромки (рис. 67, в) 1) х = r, Mr = 0; 2) x = r, ; 3) x = 0, w = 0.	в
	Рис. 67

Дифференциальное уравнение (4.38) и его интегралы, а также выражения (4.31) справедливы и для кольцевой пластины в виде круг­лой пластины с круглым отверстием в середине (рис. 68, а) или в виде кольцевой пластины,

а	б	в

Рис. 68

внутренний контур которой защемлен (рис. 68, б). Изменяются лишь граничные условия и для центральной силы Р должно быть составлено вы­ражение, отражающее изменение поперечной силы в сечении х [ см. формулу (4.37)].

Например, для пластины, изображенной на рис. 68, а, граничное условие х = 0, w = 0 теряет смысл, так как при х = 0 нет пластины. Поэтому следует воспользоваться следующими тремя условиями: 1) х = b; w = 0; 2) х = b, j = 0; 3) x = a, M_r = 0. Для сосредоточенной силы получится выраже­ние

.

В этом выражении первый член представляет собой приложен­ную в центре и направленную вниз равнодействующую погонных сил P_a, приложенных к контуру ра­диусом а (сила Р на рис. 65), а второй член - силу, приложенную в центре и направленную вверх, ком­пенсирующую ту распределенную на­грузку, которой надо заполнить круг радиусом а, чтобы привести схему, изображенную на рис, к схе­ме, показанной на рис. 68, а. При такой замене уравнения остаются в силе и при наличии отверстия, так как коорди­наты х всегда больше а и изменение расчетной схемы при х < а на вывод этих уравнений не влияет.

Для пластины, изображенной на рис. 68, б, следует воспользоваться следу-ющими граничными условиями:

1) х = а, w = 0; 2) х = а, j = 0; 3) х = b, M_r = 0. Для сосредото­ченной силы получится выражение

.

Если, в частном случае, одна из нагрузок q или Р отсутствует, то в формулах (4.40) и (4.41) ее следует положить равной нулю. Например, для пластины, показанной на рис. 68, в, вы­ражение для прогиба будет

.

Если для отдельных участков пластины выражения попереч­ной силы различны (рис. 69), то для каждого из участков должно быть составлено свое

Рис. 69

дифференциальное уравнение. Например, для суммарной поперечной силы на первом участке пластины

,

на втором участке

.

После интегрирования каждого дифференциального уравнения получится три произвольных постоянных и общее число произ­вольных постоянных окажется равным 3п (п -число участков). Для каждой границы между двумя соседними участками могут быть составлены три дополнительных условия, выражающих то обстоятельство, что на границе двух соседних участков прогиб w, угол j и радиальный момент М_r одинаковы: 1) х = a, w₁ = w₂, 2) х = a, j₁ = j₂; 3) х = а, (М_r)₁ = (М_r)₂. Таких дополнитель­ных условий оказывается как раз столько, сколько недостает для нахождения всех произвольных постоянных. В разобранном при­мере при двух участках число произвольных постоянных 2 ´ 3 = 6, число условий 3 + 3 = 6.

Если известны выражения для изгибающих моментов М_r и М_T и прогибов w в функции от х, то координаты х, соответствующие наибольшим значениям этих вели­чин, найдутся из условий

. (4.42)

В ряде случаев сечения, в ко­торых возникают наибольшие из­гибающие моменты или прогибы, известны. Например, в схеме на рис. 68, б наибольший прогиб возникает на наружном контуре при х = b, а наибольший радиальный изгибающий момент (M_r) _max - в защемлении при х = а.

Подставив найденные из условий (4.42) значения х в выражения для изгибающих моментов, можно получить значения (M_r) _max и (М_Т) _max которые, в общем случае, могут возникнуть в разных сечениях пластины. Опасное сечение может оказаться поэтому там, где погонные изгибающие моменты М_r и M_T одно­временно велики.

Главные напряжения на наружной и внутренней поверхностях пластины в опасном сечении вычисляются по формулам, анало­гичным (4.27), путем замены момента инерции на момент сопротивления:

.

Третье главное напряжение (по площадке, параллельной сре­динной плоскости) равно нулю. Расчетное напряжение, сравнивае­мое с допускаемым, вычисляется в зависимости от знаков напря­жений s_r и s_T по одной из теорий прочности. Например, для пластины, представленной на рис. 68, б, опасное сечение находится в защемлении при х = а; при этом верхние волокна и от момента М_r, и от момента М_T испытывают растяже­ние, а нижние - сжатие, изгибающий момент М_r в сечении х = а больше, чем М_T. Предполагаем, что пластина выполнена из пла­стического материала и что применяется третья теория прочности, условие прочности по которой

.

Волокна в точке на верхней поверхности пластины растянуты, т. е. напряжения s положительны, поэтому следует обозначить:

.

Условие прочности примет вид

.