Температурные напряжения в пластинах

В общем случае температура в какой-либо точке круглой пла­стины является функцией двух переменных: радиуса х и расстоя­ния z от точки до срединной плоскости. В силу линейности основ­ных уравнений для температурных напряжений напряжения, выз­ванные радиальным изменением температуры - t_x2 – t_x1 и изме­нением температуры по толщине t₂ – t₁ можно вычислить от­дельно, а затем алгебраически суммировать. Ниже рассматри­ваются два случая изменения температуры: 1) температура одинакова для всех точек, рас­положенных на одинаковом рас­стоянии z от срединной плоско­сти, но меняется по толщине пластины по прямолинейному закону; 2) температура постоян­на по толщине, не зависит от полярного угла q, но меняется в зависимости от расстояния х между точкой и центром пла­стины.

Случай 1. При одинаковом во всех точках одной окружности изменении температуры по толщине пластины , подчиняющемся прямолинейному закону (рис. 70), перемещение этих точек пластины, связанное с ее расширением или сжатием, происходит также одинаково по всем направлениям в плане.

В случае повышения температуры верхняя поверхность пла­стины получает большее расширение, чем нижняя, и пластина из­гибается по шаровой поверхности радиусом r выпуклостью вверх. На основании допущения о прямых нормалях можно считать, что относительная деформация (по отношению к срединному слою), происходящая на наружной поверхности в любом направлении,

. (4.43)

Рис. 70

С другой стороны, относительная температурная деформация отрезка длиной l на наружной поверхности по отношению к сре­динному слою

. (4.44)

Приравняв выражения (4.43) и (4.44), можно получить формулу для определения кривизны шаровой изогнутой поверхности

. (4.45)

Если круглая пластина не имеет закреплений или свободно поворачивается на контуре (свободно оперта), то температурное искривление не вызывает дополнительных усилий. Если же пла­стина защемлена, на контуре возникнут погонные опорные мо­менты М_r, уничтожающие кривизну, вызванную неравномерным нагревом.

При сферическом изгибе моментами М_r кривизна

. (4.46)

Приравняв выражения (4.45) и (4.46), получим формулу для опреде­ления погонного изгибающего момента

,

а разделив это выражение на момент сопротивления и подставив вместо цилиндрической жесткости D ее значение из формулы (4.12), определим наибольшее напряжение:

. (4.47)

Случай 2. Круглая пластина с центральным отверстием ра­диусом а подвергается действию температуры, имеющей радиаль­ный перепад (рис. 71).

Рис. 71

В дальнейшем t_(x) обозначено для кратко­сти t. Напряженное состояние в пластине считаем плоским, т. е. полагаем s_z = 0. В силу симметрии условий и расчетной схемы перемещения и зависят только от радиуса х, а перемещения v равны нулю. Поэтому относительные деформации

. (4.48)

Если решить первые два уравнения (4.48) относительно s_r и s_Т, а в третьем заменить g_rT на , можно получить

. (4.49)

Подстановка значений (4.49) в уравнение равновесия плоской задачи в полярных координатах, принимающее в данном случае (r = х) вид

,

приводит к следующему диф­ференциальному уравнению для радиального перемещения:

.

Для интегрирования этого уравнения левая его часть записы­вается так [см. аналогичное решение уравнения (4.36)]:

. (4.50)

Первое и второе интегрирование (4.50) дает

. (4.51)

В выражении (4.51) через х₁ обозначен переменный радиус, определяющий точки, расположенные между а и х. Если подставить это выражение в формулы (4.49), то получатся следующие выражения для температурных напряжений:

. (4.52)

Постоянные С₁ и С₂ определяются из граничных условий на контурах пластины. Если отверстия радиусом а в пла­стине нет, то интегрирование в формулах (4.52) выполняется в пределах от нуля до х.