Пересечение двух плоскостей.(вводим фронт-проецир плоск(две шт. ))

Прямая линия пересечения двух плоскостей определяется двумя точками, каждая из которых принадлежит обеим плос­костям, или одной точкой, принадлежащей двум плоскостям, и известным направлением линии. В обоих случаях задача за­ключается в нахождении точки, общей для двух плоскостей.

Общий прием построения линии пересечения двух плоскостей заключается в следующем. Вводят вспомогательную плоскость, строят линии пересечения вспомогательной плоскости с двумя за­данными и в пересечении построенных линий находят общую точку двух плоскостей. Для нахождения второй общей точки построение повторяют с помощью еще одной вспомогательной плоскости.

На рисунке 4.7 показано наглядное изображение линии пе­ресечения К₁К₂ двух плоскостей Р и Q.

Рис. 4.7 Рис. 4.8 Рис. 4.9

Для наглядного изображения построения первой общей точки линии пересечения плоскостей P и Q (рис.4.8) введена вспомогательная плоскость S. С плоскостью P она пересекается по линии 1– 2, с плоскостью Q – по линии 3 – 4. В пересечении линий 1 – 2 и 3 – 4 определена первая общая точка К₁ двух плос­костей P и Q – первая точка линии их пересечения. Аналогично вводят новую секущую плоскость и строят вто­рую точку линии пересечения.

Частный случай построения линии пересечения двух плоско­стей, когда одна из них проецирующая. Вэтом случае постро­ение линии пересечения упрощается тем, что одна ее проекция совпадает с проекцией проецирующей плоскости на ту плос­кость проекций, к которой она перпендикулярна.

В качестве примера на рисунке 4.9 показано построение проекций m'n', mn линии пересечения MN фронтально-про­ецирующей плоскости P с плоскостью треугольника ABC.

На фронтальной проекции в пересечении проекций a'b' и a'c' со следом P_v находим фронтальные проекции m' и n' двух общих точек заданных плоскостей. По ним построены гори­зонтальные проекции m и n на горизонтальных проекциях ab и ас сторон треугольника. Через точки m и n проводим горизон­тальную проекцию линии пересечения плоскостей. При взгляде по стрелке S по фронтальной проекции очевидно, что часть тре­угольника левее линии пересечения MN (m'n') находится над плоскостью P, т. е. видима, остальная часть – под плоскостью P, т. е. невидима (участок mbcn показан штриховой линией). Другой пример построения линии пересечения двух тре­угольных пластин ABC и DEF, одна из которых (DEF) задана как горизонтально-проецирующая плоскость, приведен на рисунке 4.10.

Построение линии пересечения плоскостей общего положения. На рисунке 4.11 приведено построение проекций m'n', mn линии пересечения двух плоскостей, одна из которых задана проекци­ями a'b', b'c', ab, bc двух пересекающихся прямых, другая – проекциями d'e', f'g', de, fg двух параллельных прямых. В качестве вспомогательных плоскостей взяты две горизон­тальные плоскости, заданные следами R_v и T_v. Плоскость R пересекает первую заданную плоскость по пря­мой 1 – 2, вторую – по прямой 3 – 4. По фронтальным проекци­ям 1 ', 2' и 3', 4' находим с помощью линий связи горизонтальные проекции 1, 2 и 3, 4 на горизонтальных проекциях ab, bc, de, fg прямых. Через них проводим горизонтальные проекции линий 1–2 и 3–4 линии пересечения. Отмечаем точку m – гори­зонтальную проекцию общей точки M трех плоскостей – двух заданных и вспомогательной R. По ней определяем фронталь­ную проекцию m' на фронтальном следе R_v вспомогательной плоскости. Вспомогательные плоскости T и R параллельны. Линии их пересечения с заданными плоскостями также параллельны. Поэтому горизонтальные проекции линий пересечения плос­кости T с заданными плоскостями проведены через проекцию b параллельно проекции 1–2 и через проекцию 5 параллельно проекции 3–4. В их пересечении найдена горизонтальная про­екция n второй общей точки трех плоскостей, т. е. линии пе­ресечения двух заданных плоскостей. По ней на фронтальном следе T_v вспомогательной плоскости построена фронтальная проекция n'. Через построенные проекции m', n' и m, n про­водим фронтальную и горизонтальную проекции искомой ли­нии пересечения MN.

15. Пересечение прямой линии общего положения с плоскостью общего положения.

Точку пересечения прямой с плоскостью общего положе­ния (рис. 4.5, а) строят в следующем порядке (рис. 4.5, б): Через заданную прямую AB проводят вспомогательную плоскость T. 2) Строят линию пересечения 1-2 вспомогательной плоскости T и заданной плоскости Q. 3) В пересечении линии 1-2 с заданной прямой AB отмечают искомую точку К.

На рисунке 4.6 дано построение на чертеже проекций точки пересечения прямой, заданной проекциями d'e', de, с плос­костью общего положения, задан­ной проекциями a'b'c', abc тре­угольной пластины. Проекции точки пересечения строят в следу­ющем порядке: 1. Через прямую DE проводят вспомогательную плоскость, на­пример фронтально-проецирую­щую P (на рис. 4.6, б показан только след Pv); 2. строят проекции 1'2', 1-2 линии пересечения этой плос­кости с плоскостью треугольника, заданной проекциями a'b'c', abc; при этом по фронтальным проекциям точек 1' и 2' нахо­дят горизонтальные проекции точек 1 и 2(1-2 соединяем); 3. находят проекции m', m точки пересечения заданной пря­мой с плоскостью треугольника. Для этого в пересечении про­екций de и 1-2 отмечают горизонтальную проекцию m искомой точки и с помощью линии связи строят ее фронтальную проек­цию m' на проекции d'e' прямой. Прямые DE и 1-2 пересекаются, так как принадлежат одной плоскости P;

Для определения видимых участков прямой DE анализируют положение точек на скрещивающихся прямых. Так, точки с проекциями 3', 3 и 2', 2 находятся на скрещивающихся пря­мых с проекциями d'e', de и a'b', ab соответственно. Их фрон­тальные проекции 2' и 3' совпадают. По горизонтальной проек­ции при взгляде по стрелке N видно, что точка 3 находится перед точкой 2, т. е. она закрывает точку 2. Следовательно, прямая DE слева от точки M расположена перед треугольником ABC. Поэтому фронтальная проекция d'm' ее показана как видимая. От точки M вправо прямую DE закрывает треугольник ABC до точки 1, соответственно отрезок т'1' показан как невидимый. Невидимый участок на горизонтальной проекции прямой DE выявляют анализом положения точек с проекциями 5', 5 и 4' 4, лежащих на скрещивающихся прямых с проекциями b'c', bc и d'e', de. По фронтальной проекции очевидно, что если смотреть по стрелке К, то вначале видят точку 5, распо­ложенную выше точки 4. Она закрывает точку 4. Следователь­но, в этом месте прямая DE закрыта треугольником ABC до точки их пересечения M (участок с проекцией т-5). Слева от точки пересечения M прямая DE находится над треугольником ABC и, естественно, видима (участок с проекцией dm).