Оптимальный запас капитала

Величина выпуска, которая может быть про­изведена репрезентативной фирмой, описывает­ся производственной функцией Y = F(K), кото­рая показывает урожай кокосовых орехов Y, ко­торые можно будет получить завтра в том слу­чае, если Крузо вырастит на своем пустынном острове К орехов сегодня. Производственная функция показана на рис. 4.14, а^[59]. Предельная производительность капитала (MPK) является взаимосвязанной концепцией. MPK представля­ет собой величину добавочного выпуска, кото­рый может быть получен при введении допол­нительной единицы капитала в производство (ΔY/ΔK) и задается наклоном производствен­ной функции^[60]. Из-за действия принципа убы­вающей предельной производительности, MPK убывает по мере увеличения количества ис­пользуемого капитала, как это показано на рис. 4.14, б.

Рис. 4.14. Оптимальный запас капитала

Оптимальный запас капитала К* может быть достигнут, когда кривая производственной функции фирмы максимально удалена от линии OR, представляющей стоимость капита­ла. В этой точке предельная производительность капитала равна его предельным затратам (МРК = 1 + r). Инвестиции представляют собой разность между желаемым за­пасом капитала К* и ранее накопленным капиталом К.

Инвестиции поглощают ресурсы. Во-первых, в них включается стоимость самих инвестици­онных товаров, которые будут впоследствии по­теряны, так как после спасения Крузо покинет свою кокосовую рощу. Если инвестиции финан­сируются за счет займа, предельные затраты инвестирования будут равны (1 + r). Если инве­стиции финансируются за счет ресурсов, кото­рые могли бы вместо этого быть вложены в финансовые активы, альтернативные затраты ин­вестирования равны (1 + r). В любом случае, луч OR на рис. 4.14, (а) представляет общие затраты капитала, (1 + r)K, который установлен сегодня, а участвовать в производстве будет завтра. Они находятся сложением основной суммы долга и процентных выплат. (Здесь затраты на оборудо­вание принимаются равными единице, так как для того, чтобы вырастить дерево необходим один кокосовый орех.) Предельные капитальные затраты или стоимость одной дополнительной единицы производственного оборудования рав­ны просто (1 + r). Они показаны на рис. 4.14, (б) горизонтальной линией. Прибыль фирмы во втором периоде представляет собой разницу между стоимостью выпуска и производственны­ми затратами:

(4.5) Прибыль = F(K) — К(1 + r).

На рис. 14.4, (а) данная величина измеряется вертикальным отрезком между кривой произ­водственной функции и лучом OR.

Предприниматель, максимизируя прибыль, выберет оптимальный запас капитала К*, при этом расстояние между двумя кривыми будет наибольшим. Это случается там, где наклон производственной функции (заданный каса­тельной) равен кривой стоимости капитала OR. Тогда предельная производительность капитала (МРК) равна предельным или альтернативным затратам, 1 + r. (В боксе 4.6 этот результат рассматривается более широко.)

(4.6)	МРК	=	1 + r
	предельная производительность капитала		предельные затраты на капитал

На рис. 4.14, б оптимальный запас капитала К* соответствует пересечению кривых МРК и предельных затрат.

Если каждая фирма ведет себя оптимально, эти принципы могут применяться ко всей эко­номике в целом. Отсюда следуют два вывода. Во-первых, оптимальный запас капитала поло­жительно зависит от ожидаемой эффективности имеющейся технологии производства. Со­вершенствование технологии производства или технический прогресс означает, что можно про­извести больший объем продукции на основе того же самого запаса капитала. На рис. 4.14 производственная функция на схеме (а) и график МРК на схеме (б) сдвигаются вверх. Оптималь­ный запас капитала увеличивается от К* до К*`. Во-вторых, оптимальный запас капитала нахо­дится в обратной зависимости от реальной процентной ставки. Увеличение ее заставило бы кривую стоимости капитала OR вращаться про­тив часовой стрелки на рис. 4.15, (а), а кривую предельных затрат - подняться вверх на схе­ме (б). Этот важный результат основывается на том, что при заданном уровне технологии повы­шение альтернативных затрат на капитал уменьшают величину капитала, который при введении в действие давал бы прибыль боль­шую, чем при простой сдаче его в «аренду» на финансовых рынках.

Бокс 4.6. Рассматриваем ситуацию, когда временной про­межуток простирается за следующий период, и учитыва­ем амортизацию капитала

Двухпериодный подход, используемый нами начиная с главы 3 вплоть до настоящего момента, подразумевает, что когда Крузо спасают в конце второго периода, он теряет свой запас капитала. Но что произойдет, если он решит его продать Пятнице, остающемуся на острове? Если сущест­вует рынок перепродаж, результат изменится коренным образом. Утверждая, как в (4.6), что предельные затраты на капитал равны его предельному продукту, мы должны учесть ликвидационную стоимость капитала как часть до­хода фирмы. Для простоты предположим, что цена деревь­ев равна единице (одному ореху). Тогда условие равнове­сия выглядит следующим образом

(4.8)	MPK	+		=	1 + r
	Предельный продукт		Ликвидационная стоимость		Предельные затраты

Затраты на капитал, также как и ценность выпуска равны 1, так как и то, и другое представляют собой кокосовые орехи. Условие может быть упрощено:

(4.9) МРК = r.

Предельный продукт капитала должен быть равен только процентной ставке, а не 1 + r, так как предполагается, что Крузо возместит первоначальную сумму своих инвестиций. На практике, фирмы обычно могут реализовать свое обо­рудование по некоторой цене, поэтому, приняв во внима­ние ценность своего оборудования, они будут требовать меньшей производительности. Поэтому выражение (4.9) скорее отражает действительную ситуацию, нежели (4.6) Важно заметить, что вышесказанное не снижает значимо­сти выражения (4.7) для инвестиционной функции.

Но история не кончается: приближаясь еще на один шаг к реальной ситуации, мы вынуждены признать, что введенный в действие капитал изнашивается с течением времени или устаревает морально. Ухудшение оборудова­ния может быть описано с помощью нормы амортизации д. Завтрашняя ценность сегодняшнего капитала равна не 1, а 1 - δ. Учитывая это, выражение (4.8) приобретает вид

(4.10)	MPK	+	1 - δ	=	1 + r
	Предельный продукт		Ликвидационная стоимость		Предельные затраты

Выражение (4.8) может быть упрощено

(4.11) MPK = r + δ.

В данном выражении предельные затраты или затраты ис­пользования капитала равны сумме процентной ставки r и норме амортизации δ. Амортизацию можно рассматривал как дополнительные затраты на капитал. Исходную ситуа­цию (4.11) можно свести к особому случаю, когда оборудо­вание амортизируется полностью (δ = 1).