Задачи для практического занятия по теме: «Критерии согласия»

31.1. Генетик, изучающий наследственность на томатах, имеет основания ожидать, что в генерации отношение плодов с красной и желтой мякотью будет 3:1. Подсчет плодов с красной мякотью дает 300 из 400. Проверить на уровне значимости a = 0,05 с помощью критерия Пирсона гипотезу ученого.

Ответ: = 1,33 < , т.е. нет оснований отвергнуть гипотезу ученого.

31.2. Исследователь произвел скрещивание двух форм кукурузы – золотистой и зелено-полосатой. В поколении F₂ были получены четыре различные типа растений. Распределение 1301 растения оказалось следующим (опытные частоты): I тип (зеленый) – 773, II тип (золотистый) – 231, III тип (зелено-полосатый) – 238, IV тип (зелено-золотисто-полосатый) – 59. В соответствии с законом Менделя соотношение типов должно быть 9: 3: 3: 1.

Можно ли считать, что распределение растений по типам соответствует закону Менделя? Гипотезу проверить на уровнях a = 0,05 и a = 0,025.

Ответ: на уровне a = 0,05 гипотезу следует отвергнуть, на уровне
a = 0,025 нет оснований отвергнуть гипотезу.

31.3. Цифры 0, 1, 2, …, 9 среди первых восьмисот десятичных знаков числа p появились 74, 92, 83, 79, 80, 73, 77, 75, 76, 91 раз соответственно. Проверить с помощью критерия Колмогорова гипотезу о согласии этих данных с равномерным законом распределения на уровне a = 0,10, считая, что вероятность появления любой цифры – 0,1.

Ответ: нет оснований отвергнуть гипотезу о равномерном распределении вероятности.

31.4. Результаты регистрации числа микробов, попавших в поле зрения микроскопа в течение нескольких равных промежутков времени, приведены в таблице 31.1 (Х – число микробов, n_i – число временных промежутков, соответствующих наблюдению x_i микробов).

Таблица 31.1.

Х
ni						S=100

Проверить, используя критерий c² на уровне a = 0,05, гипотезу Н₀: число микробов, попадающих в поле зрения микроскопа распределено по закону Пуассона ().

Решение. Найдем выборочное значение параметра l

l_В = .

Занесем необходимые вычисления в таблицу 31.2.

При заполнении таблицы 31.2 можно воспользоваться приложением III для подсчета р_i.

Таблица 31.2.

xi	ni	pi	n × pi
		0,3679	36,79	0,0398
		0,3679	36,79	0,0012
		0,1839	18,39	0,6249
более 3		0,0803	8,03	0,4833
			Sn pi = 100	=S=1,1492

Найдем граничное значение критерия c²

= c²(0,05; 5 – 1 – 1) = 9,84.

Поскольку > , то нет оснований отвергнуть гипотезу Н₀.

31.5. Эффективность каждого из двух рационов (А и В) откорма скота характеризуется выборками, приведенными в таблице 31.3, (Х – вес животного, которого откармливали по рациону А, Y – по рациону В).

Таблица 31.3.

Х

S=10

Y

S=12

Используя критерий Вилкоксона – Уитни на уровне a = 0,05 проверить гипотезу Н₀ об одинаковой эффективности рационов А и В, в качестве альтернативной принять гипотезу Н₁: F₁(x) > F₂(x).

Ответ: Н₀ отвергается, рацион А эффективнее.

31.6. При изготовлении деталей использовались технологии I и II. Для исследования сравнительной точности технологий собраны две выборки (см. таблицу 31.3).

Таблица 31.3.

№ интервала	Абсолютная ошибка в мк	Частоты
I	II
	0 – 10
	10 – 20
	20 – 30
	30 – 40
	40 – 50
	50 – 60
	60 – 70
	70 – 80
	80 – 90
		n = 110	m = 100

Пользуясь критерием Колмогорова – Смирнова на уровне a = 0,05 проверить гипотезу Н₀: абсолютные ошибки для I и II технологий описываются одной функцией распределения.

Ответ: нет оснований отвергнуть гипотезу Н₀.

Проверочные вопросы.

1. Какая гипотеза называется статистической?

2. Какая гипотеза называется нулевой, какая альтернативной? Приведите примеры.

3. Что называется статистическим критерием?

4. Что называется критической областью принятия гипотезы?

5. Дайте определения и приведите примеры ошибок первого и второго рода.

6. Какие виды критических областей вы знаете?

7. В чем отличие критической области от доверительного интервала?

8. Дайте определение мощности критерия.

9. Сформулируйте основной алгоритм проверки статистической гипотезы.

10. Как сравниваются средние генеральных совокупностей?

11. Как сравниваются генеральные дисперсии?

12. Как сравниваются доли признака в генеральной совокупности?

13. Как можно проверить гипотезу о числовом значении параметра?

14. Какие гипотезы проверяются критериями согласия?

15. Критерий согласия Колмогорова.

16. Критерий согласия Пирсона.

17. Непараметрические критерии Колмогорова – Смирнова и Вилкоксона – Уитни.

Примеры для самостоятельного решения.

По условиям примеров для самостоятельного решения 1 – 10 § 25 проверить на уровне значимости 0,05 гипотезу Н₀: соответствующая выборка извлечена из нормально распределенной совокупности, используя:

а) критерий согласия c²;

б) критерий согласия Колмогорова.

* Предложенная статистика является СВ, поскольку в различных опытах значения и могут принимать различные заранее неизвестные значения.