П.2. Сравнение долей признака в генеральных совокупностях

Пусть имеются генеральные совокупности, в которых генеральные доли некоторого признака составляют р₁ и р₂ соответственно. Пусть выдвинута нулевая гипотеза Н₀: р₁ = р₂. Для ее проверки собираются две выборки объемами n₁ и n₂ и вычисляются выборочные доли и , где m₁ и m₂ – число элементов, обладающих изучаемым признаком. Можно показать, что СВ

,

где имеет стандартное нормальное распределение в случае справедливости гипотезы Н₀.

В качестве альтернативных гипотез Н₁ можно выбрать следующие:

а) р₁ < р₂ (р₁ > р₂);

б) р₁ ¹ р₂.

Если в качестве альтернативной выбрана гипотеза Н₁: р₁ < р₂ (р₁ > р₂), то критическую область находят из уравнения

Ф(t_кр) = 1 – 2a.

В случае (б) аналогичное уравнение имеет вид

Ф(t_кр) = 1 – a.

Гипотеза Н₀ отвергается, если |t_Э| > t_кр, если |t_Э| £ t_кр, то нет оснований отвергнуть гипотезу.

П р и м е р 27.3. Рекламное агентство провело в двух населенных пунктах опрос, знаком ли респондент с их рекламной продукцией. Получены следующие результаты: в первом пункте из 170 респондентов с рекламной продукцией знакомы 80, во втором – из 130 респондентов – 70. Можно ли считать, что рекламное агентство уделяет одинаковое внимание обоим населенным пунктам?

Решение. Если рекламное агентство уделяет одинаковое внимание обоим населенным пунктам, то генеральные доли людей, знакомых с продукцией рекламного агентства, будут одинаковы.

Проверим следующую гипотезу Н₀: р₁ = р₂. В качестве альтернативной рассмотрим гипотезу Н₁: р₁ < р₂.

Найдем опытное значение критерия

.

Найдем границу критической области из уравнения Ф(t_кр) = 1 – 2a. Пусть значимость критерия a = 0,05. Тогда t_кр = 1,64.

Поскольку 2,02 > 1,64, т.е. |t_Э| > t_кр, то гипотезу Н₀ следует отвергнуть.

Верной следует считать гипотезу Н₁. Следовательно, рекламному агентству следует усилить свою деятельность в первом населенном пункте.