Решение. а) В данном случае критическая область правосторонняя

а) В данном случае критическая область правосторонняя. Критическая точка определяется из соотношения

Ф(t_кр) = 1 – 2a.

Пусть a = 0,01, тогда Ф(t_кр) = 0,98. Значит, t_кр = 2,33.

Найдем значение выборочной средней, при которой значение статистики попадает на граничную точку критической области, из соотношения

,

= 2,33 + 18 = 20,33.

Критическая область > 20,33.

Для a = 0,025 и a = 0,05 получим

(0,025) = 19,96;

(0,05) = 19,64.

Соответственно критические области: > 19,96 и > 19,64.

б) Мощность критерия равна вероятности Р отвергнуть гипотезу Н₀, когда верна гипотеза Н₁, т.е. для a = 0,01

(1 – b)_0,01 = Р_0,01(20,33 < < + ¥).

Для вычисления мощности найдем значение критерия при условии справедливости гипотезы Н^*: = 19.

.

Таким образом,

(1 – b)_0,01 = – Ф(1,33) = – × 0,8165» 0,0917

Для a = 0,025 и a = 0,05 получим

,

.

Мощность критерия при этом равна

(1 – b)_0,025 = – Ф(0,96) = 0,1686;

(1 – b)_0,05 = – Ф(0,64) = 0,12611.

Из расчетов видно, что при увеличении a увеличивается мощность критерия. Другими словами, увеличение вероятности ошибки первого рода ведет к уменьшению вероятности ошибки второго рода.