П.1. Критерий согласия Колмогорова

Пусть по некоторой выборке х₁, …, х_n, извлеченной из генеральной совокупности, построена функция распределения F_Э(х). Нулевая гипотеза Н₀ будет состоять в том, что функция распределения генеральной совокупности F(x) совпадает с некоторой непрерывной функцией F₀(x). Альтернативной будет гипотеза Н₁: F(x) ¹ F₀(x).

В качестве статистики используем СВ

D_n = .

В случае справедливости гипотезы Н₀выполняется соотношение

Р(D_n < z)» K(z),

где K(z) – функция распределения Колмогорова (см. приложение VII).

По заданному уровню значимости a найдем z_{1 - a} (квантиль порядка
1 –a функции распределения K(z)).

Согласно критерию согласия Колмогорова: если D_n < z_{1 - a}, то гипотеза Н₀ принимается, т.е. F(x) = F₀(x), если D_n ³ z_{1 - a}, то верна гипотеза Н₁, т.е.
F(x) ¹ F₀(x).

П р и м е р 29.1. Результаты измерений 1000 деталей представлены в таблице 29.1.

Таблица 29.1.

xk		88,5		89,5		90,5		91,5		92,5
mk											S=1000

Проверить на уровне значимости a = 0,05, пользуясь критерием согласия Колмогорова, гипотезу Н₀: СВ Х распределена по нормальному закону с параметрами = 90,25; s² = 1.

Решение. Критерий Колмогорова удобно применять по схеме.

1. Строятся эмпирическая и теоретическая функции распределения F_Э(х) и F₀(x).

2. Определяется величина

D_n = .

3. Если D_n < z_{1 - a}, то гипотеза Н₀ принимается, если D_n ³ z_{1 - a}, то гипотеза Н₀ отвергается.

Результаты вычислений будем заносить в таблицу 29.2.

Таблица 29.2.

i	xi	xi –		FЭ(xi)		|F0(x) – FЭ(x)|
	88,0	– 2,25	– 0,4877	0,0105	0,0123	0,0018
	88,5	– 1,25	– 0,4599	0,0445	0,0401	0,0044
	89,0	– 1,25	– 0,3944	0,1115	0,1056	0,0059
	89,5	– 0,75	– 0,2734	0,2340	0,2266	0,0074
	90,0	–0,25	– 0,0987	0,4035	0,4013	0,0022
	90,5	0,25	0,0987	0,5945	0,5987	0,0042
	91,0	0,75	0,2734	0,7660	0,7734	0,0074
	91,5	1,25	0,3944	0,8855	0,8944	0,0089
	92,0	1,75	0,4599	0,9545	0,9599	0,0054
	92,5	2,25	0,4877	0,9875	0,9877	0,0002

Значения для F_Э(x_i) вычислялись по формуле

.

Найдем значение D_n

D_n = .

Из таблицы VII получим z_{1 – 0,05} = z_0,95 = 1,36. Поскольку D_n < z_{1 – 0,05}, то гипотеза Н₀ принимается.

Критерий Колмогорова получил широкое распространение благодаря своей простоте. Однако принципиально его применение возможно, если известны все параметры распределения генеральной совокупности, чего практически не бывает. Если в качестве неизвестных параметров взять соответствующие им выборочные оценки, то для небольших выборок получается завышенное значение K(z), что может привести к принятию неверной гипотезы Н₀.

Следующий критерий согласия учитывает это обстоятельство, поэтому применим в тех случаях, когда параметры распределения неизвестны.