П.2. Критерий согласия Пирсона (c2)

Пусть Н₀ состоит в том, что F(x) = F₀(x); альтернативная гипотеза Н₁: F(x) ¹ F₀(x). В критерии согласия Пирсона статистикой берется случайная величина c², эмпирическое значение которой определяется по формуле

,

где k – число интервалов, на которые разбивается значение изучаемой СВ Х; m_i – частота i интервала; p_i – вероятность попадания СВ Х в i-тый интервал, вычисленная для теоретического закона распределения.

При n ® ¥ СВ стремится к распределению c² с l = k – r – 1 степенями свободы, где k – число интервалов, r – число параметров теоретического распределения, вычисленных по экспериментальным данным.

Требование, чтобы n ® ¥, является существенным. На практике достаточным считается объем n ³ 50 и число наблюдений в каждом интервале m_i не менее 5. Если в каком-нибудь интервале m_i < 5, то имеет смысл объединить соседние интервалы.

Изложим алгоритм применения критерия c².

1. Находится величина

.

2. Для выбранного уровня a по приложению VI находят значение , где l = k – r – 1.

3. Если £ , то гипотеза Н₀ принимается, т.е. можно считать, что теоретический и эмпирический законы распределений совпадают; если
> , то гипотеза Н₀ отвергается.

П р и м е р 29.2. При посеве семян льна важным показателем является глубина заделки семян. Для оценки посева было произведено 100 измерений. Результаты измерений приведены в таблице 29.3.

Таблица 29.3.

Глубина (см)	0,5-0,8	0,8-1,1	1,1-1,4	1,4-1,7	1,7-2,0	2,0-2,3	2,3-2,6	2,6-2,9
Число наблюдений

С помощью критерия c² проверить гипотезу Н₀ о нормальном распределении СВ Х – глубины заделки семян на уровне значимости a = 0,01.

Решение. Найдем и S_В по выборочным данным

.

.

Поскольку в крайних интервалах значение m_i < 5, объединим их.

Таблица 29.4.

Глубина (см)	менее 1,4	1,4-1,7	1,7-2,0	2,0-2,3	более 2,3
Число наблюдений

1. Найдем вероятности p_i попадания СВ Х в i интервал по формуле

,

где значения найдем, используя таблицу II приложений.

;

;

;

;

.

Проверка: .

Вычислим значение :

2. l = k – r – 1 = 5 – 2 – 1 = 2. По таблице II найдем = 9,21.

3. Поскольку < , то гипотезу Н₀ о нормальном распределении СВ Х отвергать нет оснований.

§ 30. Проверка гипотез об однородности выборок (непараметрические критерии).

Пусть имеются две независимые выборки, произведенные из генеральных совокупностей, законы распределения которых неизвестны. Проверяемая гипотеза Н₀: F₁(x) = F₂(x), где F₁(x) и F₂(x) неизвестные функции распределения. Альтернативная гипотеза Н₁: F₁(x) ¹ F₂(x).

Критерий Колмогорова – Смирнова. Данный критерий применяется, если можно предполагать, что функции F₁(x) и F₂(x) непрерывны.

В качестве статистики критерия берется величина

,

где n₁, n₂ – объемы первой и второй выборок соответственно, F_1,Э(х), F_2,Э(х) – эмпирические функции распределения первой и второй выборок.

При справедливости гипотезы Н₀ при достаточно больших выборках (n₁ ³ 50, n₂ ³ 50) распределение сходится к распределению Колмогорова (таблица VII приложений). При малых выборках для нахождения D_кр используются специальные таблицы.

Проверка гипотезы Н₀ осуществляется следующим образом. Если
> D_кр, то гипотеза отвергается, в противоположном случае принимается.

П р и м е р 30.1. Для изучения влияния некоторого препарата на рост поросят проведен опыт, результаты которого приведены в таблице 30.1.

Таблица 30.1.

Xi (суточный привес в кг)	0,15 – 0,20	0,20 – 0,25	0,25 – 0,30	0,30 – 0,35	0,35 – 0,40
(число поросят)

Одновременно велось вскармливание поросят в контрольной группе без использования препарата (таблица 30.2).

Таблица 30.2.

Xi (суточный привес в кг)	0,15 – 0,20	0,20 – 0,25	0,25 – 0,30	0,30 – 0,35	0,35 – 0,40
(число поросят)

Требуется на уровне значимости a = 0,05 проверить гипотезу Н₀, что обе выборки описываются одной и той же функцией распределения, т.е. препарат не оказывает на рост поросят существенного влияния.

Решение. Данные вычислений занесем в таблицу, учитывая, что
n₁ = 100, n₂ = 200.

Таблица 30.3.

№ интервала	Правая граница интервала			|FЭ,1 – FЭ,2|
	0,20	0,10	0,15	0,05
	0,25	0,40	0,25	0,15
	0,30	0,80	0,80
	0,35	0,90	0,95	0,05
	0,40	1,00	1,00

Найдем .

.

Используя таблицу VII приложений, найдем

D_кр = D_{1 - a} = D_0,95»K_0,95 = 1,36.

Поскольку D_кр < , то гипотезу Н₀ следует принять, т.е. препарат не оказывает существенного влияния на рост поросят.

В случае, если выборки невелики, удобно применять критерий Вилкоксона – Уитни.

Сформулируем правило его применения (n₁ £ 25, n₂ £ 25). Для проверки гипотезы Н₀: F₁(x) = F₂(x) при альтернативной гипотезе Н₁: F₁(x) ¹ F₂(x) следует:

1. Объединить две выборки в одну и расположить варианты в возрастающем порядке, рассчитать W – сумму номеров вариант меньшей по объему выборки.

2. Найти по таблице VIII приложений w_{нижн.кр} = w(, n₁, n₂) и w_{верхн.кр} =
= (n₁ + n₂ + 1) n₁ – w_{нижн.кр}.

Если w_н.кр < W < w_в.кр, то нет оснований отвергнуть гипотезу, в противоположном случае гипотеза Н₀ отвергается.

Замечание 30.1. Если среди вариант есть совпадающие, то каждой из них присваивают ранги, равные среднему арифметическому порядковых номеров совпадающих вариант в общем ряде, которыми заменяют номера совпадающих варинт.

Замечание 30.2. Критерий Вилкоксона – Уитни можно использовать и для больших выборок. При этом изменяется расчет w_н.кр и w_в.кр (см. [4]).

П р и м е р 30.2. Для оценки заработной платы (в у.е.) на двух предприятиях собраны две выборки объемом n₁ = 8 и n₂ = 9:

I-е предприятие 330, 390, 400, 410, 420, 450, 460, 470

II-е предприятие 340, 400, 410, 420, 430, 440, 460, 480, 490

Используя критерий Вилкоксона – Уитни, проверить нулевую гипотезу Н₀ об одинаковой оплате труда на двух предприятиях, против гипотезы Н₁: оплата различна (a = 0,05).

Решение. Сформируем общий вариационный ряд

330; 340; 390; 400; 400; 410; 410; 420; 420; 430; 440; 450; 460; 460; 470; 480; 490

1 2 34,5 4,5 6,5 6,5 8,5 8,5 10 11 1213,5 13,5 15 16 17

Для применения изложенного выше критерия Вилкоксона – Уитни в качестве первой выборки следует взять ту, которая имеет наименьший объем n₁ = 8.

Найдем значение W. Для этого подчеркнем порядковые номера вариант меньшей по объему выборки и найдем их сумму:

W = 1 + 3 + 4,5 + 6,5 + 8,5 + 12 + 13,5 + 15 = 64.

Найдем значение w_{нижн.кр} = w(0,025; 8; 9) = 51.

Найдем значение w_{верхн.кр} = (n₁+n₂ + 1) n₁ – w_н.кр = (8 + 9 + 1)× 8 – 51 = 93.

Поскольку выполняется соотношение w_н.кр < W < w_в.кр (51 < 64 < 93), то нет оснований отвергнуть гипотезу Н₀, т.е. оплата труда на I-м и II-м предприятиях различается незначительно.