Эквивалентными процентными ставками называют ставки, которые при замене одной на другую приводят к одинаковым финансовым результатам

Приравнивая (3.2) и (3.3) получим связь между эффективной и номинальными процентными ставками:

(3.4)

(3.5)

Не имеет значения, какую из приведенных ставок указывать в финансовых условиях, поскольку использование их дает одну и ту же наращенную сумму.

До сих пор мы рассматривали случаи дискретного начисления процентов. Представляет интерес определить процент как результат непрерывного начисления.

При переходе к пределу m→∞, мы имеем дело с непрерывным начислением процентов. Обозначим номинальную ставку непрерывного начисления процентов δ. Процентная ставка при непрерывном начислении называется силой роста. Большое значение непрерывное наращение имеет при анализе сложных финансовых проблем, например при финансовых расчетах на рынке производных ценных бумаг. Оценивая работу финансового учреждения, где платежи за период поступают многократно, целесообразно предполагать, что наращенная сумма непрерывно меняется во времени и применять непрерывное начисление процентов.

Формула для наращенной суммы при непрерывном начислении процентов для постоянной силы роста δ будет:

(3.5)

Заменяя j на силу роста δ, получим:

(3.6)

Если разместить 10000 рублей на 1 год 7 месяцев под 12% годовых при непрерывном начислении процентов, то наращенная сумма после 1 года 7 месяцев будет FV=10000·e^{0,12·(19/12)}=12092,5

Связь дискретных ставок i и j с силой роста δ выражается формулами:

(3.7)

(3.8)

Если m>1, то выполняются следующие неравенства:

i > j > δ (3.9)

При финансовых вычислениях можно пользоваться разными процентными ставками – i, j, δ, при этом результаты расчетов не должны зависеть от выбора процентной ставки (эквивалентность процентных ставок).

Пусть номинальная процентная ставка j = 12% (начисление процентов происходит помесячно). Тогда эффективная процентная ставка i = (1+ 0,12/12)¹² – 1 = 0,12683 (12,683%), а ставка при непрерывном начислении процентов δ = ln (1 + 0,12683) = 0,1194 (11,94%).

Фиксированная процентная ставка – ставка, зафиксированная в виде определенного числа в финансовых контрактах.

Плавающая процентная ставка – привязанная к определенной величине, изменяющейся во времени, включая надбавку к ней (маржу), которая определяется целым рядом условий (сроком операции и т.п.). Основу процентной ставки составляет базовая ставка, которая является начальной величиной. Примером базовой ставки для зарубежных финансовых рынков могут служить лондонская межбанковская ставка ЛИБОР (LIBOR – London Interbank Offered Rate) или ставка ЛИБИД (LIBID – London Interbank Bid Rate), для России это ставка МИБОР (MIBOR – Moscow Interbank Offered Rate) или ставка МИБИД (MIBID – Moscow Interbank Bid Rate). В данном случае значение ставки может быть определено как сумма базовой ставки (например, LIBOR) и надбавки к ней (маржи), уровень которой показывает уровень несистемного риска, который несет в себе данное соглашения. Маржу можно рассматривать как премию за риск.

3.3 Наращение и дисконтирование денежных потоков.

Расчет будущей ценности ("future value") исходной денежной суммы (увеличение суммы долга в связи с присоединением к ней процентных денег) - называется наращением, а увеличенная сумма – наращенной суммой.

В финансовой практике часто приходится решать задачи, обратные определению наращенной суммы: по уже известной наращенной сумме (FV) следует определить неизвестную первоначальную сумму долга (PV). Процесс приведения будущей стоимости денег к современной стоимости называется дисконтированием. Логика финансовой операции дисконтирования представлена на рис. 3.2.

Рис 3.2

Именно дисконтирование позволяет учитывать в стоимостных расчетах фактор времени, поскольку дает сегодняшнюю оценку суммы, которая будет получена в будущем. Привести стоимость денег можно к любому моменту времени, а не обязательно к началу финансовой операции.

Понятие "дисконтирование" относится к числу ключевых в теории инвестиционного анализа, поскольку процесс инвестирования, как правило, имеет большую продолжительность.

В зависимости от условий проведения финансовых операций как наращение, так и дисконтирование могут осуществляться с применением простых, сложных либо непрерывных процентов.

Исходя из методики начисления процентов, применяют два вида дисконтирования:

· математическое дисконтирование по процентной ставке;

· коммерческое дисконтирование, или банковский учет по учетной ставке.

Различие в ставке процентов и учетной ставке заключается в различии базы для начислений процентов:

· в процентной ставке в качестве базы берется первоначальная сумма долга:

i = (FV - PV) / PV (3.10)

· в учетной ставке за базу принимается наращенная сумма долга:

d = (FV - PV) / FV (3.11)

Норма доходности, исчисленная по отношению к начальной сумме кредита - декурсивная ставка (i). Доход на процент выплачивается в конце периода одновременно с выплатой, суммы кредита.

Антисипативная ставка (d) – норма доходности которой рассчитывается по конечной сумме долга. Доход на процент выплачивается в момент предоставления кредита.

Более жестко временной фактор отражает учетная ставка. Если сравнить между собой математическое и банковское дисконтирование в случае, когда процентная и учетная ставка равны по своей величине, то видно, что приведенная величина по процентной ставке больше приведенной величины по учетной ставке, т.е. учетная ставка d дает более быстрое снижение исходной суммы, чем обычная ставка i.

В прогнозных расчетах, например, при оценке инвестиционных проектов, как правило, имеют дело с процентной ставкой (при условии относительно стабильной экономики).

Математическое дисконтирование – определение первоначальной суммы долга, которая при начислении процентов по заданной величине процентной ставки (i) позволит к концу срока получить указанную наращенную сумму.

Для расчета текущей (современной) стоимости используются формулы, которые являются обратными по смыслу формулам 3.1 – 3.3, 3.6:

Для простых процентов расчет текущей стоимости производится следующим образом:

(3.12)

(3.13)

где k_д – дисконтный множитель (коэффициент приведения, дисконт-фактор).

Дисконтный множитель показывает, какую долю составляет первоначальная сумма долга в величине наращенной суммы (сколько стоит для фирмы 1 руб. в заданный момент времени, если его привести к начальному моменту).. Поскольку дисконтный множитель (множитель приведения) зависит от двух аргументов (процентной ставки и срока ссуды), то его значения легко табулируются, что облегчает финансовые расчеты.

Современная величина и процентная ставка, по которой проводится дисконтирование, находятся в обратной зависимости: чем выше процентная ставка, тем при прочих равных условиях меньше современная величина.

В той же обратной зависимости находятся современная величина и срок финансовой операции: чем выше срок финансовой операции, тем меньше при прочих равных условиях современная величина.

Если через 100 дней с момента подписания контракта необходимо уплатить 500 тыс. руб., исходя из 12 % годовых и временной базы 360 дней, тогда первоначальная сумму долга будет

В данном примере использовался условный или финансовый год, состоящий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней). Исчисляемые по такой базе проценты называют обыкновенными, или коммерческими. Если учитывается точное число дней в году (T =365 или 366), то говорят о начислении точных процентов.

Обыкновенные проценты – проценты, при подсчете которых в качестве временной базы принимается год, равный 360 дням.

Точные проценты - проценты, при подсчете которых в качестве временной базы принимается год, исчисляемый исходя из фактического чмсла дней в нем – 365 или 366.

В свою очередь, срок продолжительности операции также может быть приблизительным (когда любой месяц принимается равным 30 дням) или точным (фактическое число дней в каждом месяце). Исходя из этого возможны следующие варианты начислений процентов:

· 365/365 – точное число дней проведения операции и фактическое количество дней в году;

· 365/360 – точное число дней проведения операции и финансовый год;

· 360/360 –приближенное число дней проведения операции и финансовый год.

Эффективность применения точных и обыкновенных процентов неодинакова.

Для сложных процентов расчет текущей стоимости производится по формуле:

(3.14)

(3.15)

К примеру, через пять лет фирме потребуются деньги в размере 10000 тыс. руб., какую сумму необходимо сегодня поместить в банк, начисляющий 12% годовых, чтобы через пять лет получить требуемую сумму. Рассчитаем современную стоимость

Если начисление процентов производится m раз в год:

(3.16)

(3.17)

При непрерывном начислении процентов текущая стоимость:

(3.18)

(3.19)

Методы дисконтирования используются в случае необходимости сопоставления величин денежных поступлений и выплат, разнесенных во времени. К примеру, требуется определить, какая сумма предпочтительнее при ставке 12% годовых: 2000 рублей, полученные через год, 2500 рублей, полученные через два года, или 3000 рублей, полученные через пять лет. Для первого платежа современная стоимость составит ; для второго платежа , для третьего платежа . Таким образом, наибольшую современную ценность имеет второй платеж, и, следовательно именно ему нужно отдать предпочтение.

Банковский учет – второй вид дисконтирования, при котором исходя из известной суммы в будущем, определяют сумму в данный момент времени, удерживая дисконт.

Сумма получаемого кредитором дохода рассчитывается исходя из заранее известной величины будущей суммы. Считается, что эта сумма и является величиной предоставляемого кредита или ссуды, хотя заемщик получает ее за вычетом дохода кредитора, так как в данном случае проценты начисляются «вперед», предварительно, т.е. в начале каждого интервала начисления. Операция предварительного начисления процентов называется дисконтированием по учетной ставке или банковским учетом.

Банковский или коммерческий учет применяется в основном при учете векселей. Операция учета (учет векселей) заключается в том, что банк или другое финансовое учреждение до наступления платежа по векселю покупает его у предъявителя по цене ниже суммы векселя, т.е. приобретает его с дисконтом. Сумма, которую получает векселедержатель при досрочном учете векселя, называется дисконтированной величиной векселя. При этом банк удерживает в свою пользу проценты (дисконт) от суммы векселя за время, оставшееся до срока его погашения. Подобным образом (с дисконтом) государство продает большинство своих ценных бумаг.

Для расчета дисконта используется учетная ставка:

· простая учетная ставка:

(3.20)

Если простой вексель на сумму 80000 руб. с оплатой через 120 дней учитывается в банке немедленно после получения (учетная ставка банка равна 12%), то сумма, полученная владельцем векселя PV = 80000 · (1 – 0,12 = 76800 руб. Соответственно банк удержал в свою пользу 3200 руб. (т.е. дисконт составил D = FV - PV = 80000-76800 = 3200 руб.)

· сложная учетная ставка:

PV = FV • (1 - d) ⁿ (3.21)

Например, для определения величину суммы, выдаваемой заемщику при условии, что он обязуется вернуть ее через три года в размере 100000 тыс. руб. и банк определяет свой доход с использованием годовой учетной ставки 20% будем использовать формулу дисконтирования по сложной учетной ставке: PV = FV • (1 - d) ⁿ = 100000 • (1 - 0,2)³ = 51200 руб. Таким образом, заемщик может получить ссуду в размере 51200 руб., а через три года вернет 100000тыс. руб.

В дальнейшем по ходу изложения материала будут использоваться сложные проценты, техника исчисления которых служит базой для количественного анализа долгосрочных операций.

Дисконтирование – очень важная процедура при проведении финансовых расчетов. Методы наращения и дисконтирования являются инструментарием для оценки потоков платежей. Дисконтирование используется во многих задачах анализа инвестиций. Типичной в данном случае является следующая: определить какую сумму надо инвестировать сейчас, чтобы получить, например, 50 000 тыс. руб. через 6 лет.

Так как инвестиции – это долгосрочные финансовые вложения экономических ресурсов с целью создания и получения выгоды в будущем, которая должна быть выше начальной величины вложений, то при анализе потоков платежей используются рассмотренные нами обобщающие показатели: наращенная стоимость; приведенная стоимость; норма доходности. Однако для инвестиционных процессов они приобретают свою специфику, что и будет рассмотрено в последующих главах.