Кривые затрат, соответствующие различным функциям затрат

Функция	Линейная	Квадратичная 1	Квадратичная II	Кубическая
ТС TFC TVC	а + bQ а bQ	а + bQ - cQ2 а bQ - cO1	а + bQ + cQ2 а bQ + cQ2	a + bQ - cQ1 + dQ3 а bQ - cQ2 + сЮъ
АТС	± +Ь Q	— + Ь - cQ Q	— + b + cQ Q	— + Ь - cQ + dQ2 Q
AFC AVC мс	а Q ь ь	а a Ь- cQ Ь - 2cQ	а Q b + cQ b + 2cQ	а Q b - cQ + dQ2 b - 2cQ + 3dQ2
£	ь	b-2cQ	b + 2cQ	b-2cQ + 3dO2
'с	а	— + b-cQ Q	— +b+cQ Q	— + b-cQ + dQ2 Q

В общем, мы можем заметить следующее.

1. Если функция затрат не была получена методом регрессионного анализа данных
производства, который не охватывает низких уровней производства, то в качестве
общих постоянных затрат может быть выбран постоянный параметр а. В этом слу­
чае постоянный член регрессионного уравнения не отражает постоянных затрат, а
лишь соответствует оси ординат, которая служит для правильного размещения ре­
грессионной линии в выбранном интервале изменения объема производства. В
любом случае при удалении из уравнения общих затрат постоянного члена остав­
шаяся часть уравнения соответствует общим переменным затратам.

2. Предельные затраты можно получить из уравнения общих затрат.

3. Величина a/Q соответствует средним постоянным затратам. Если ее убрать из урав­
нения средних общих затрат, то оставшаяся часть уравнения будет соответствовать
средним переменным затратам.

4. Эластичность затрат есть отношение предельных затрат к средним общим затра­
там.

Далее обсуждаются некоторые экономические интерпретации этих математических свойств.

Линейные функции затрат. На рис. 12.4 представлены кривые затрат, соответст­вующие линейной функции, ТС - а + bQ. Как будет пояснено в следующей главе, данные эмпирических исследований показывают, что линейные функции затрат очень часто имеют фирмы, которые действуют в самых разных отраслях промыш­ленности в широком интервале изменений объемов производства, который может быть назван нормальным. Одно из объяснений" этого явления заключается в том,

, 391

Глава t2. Анализ затрат

что в пределах нормального интервала изменений объемов производства для каж­дого объема производства постоянные и переменные вводимые факторы могут быть скомбинированы так, чтобы обеспечить минимальные затраты. Однако если требу­ется получить функцию затрат для больших объемов производства, то линейная аппроксимация уже не подходит. Это связано с тем, что здесь не учитывается закон переменных пропорций. Иными словами, уравнение не допускает увеличения об­щих затрат, даже если объемы производства приближаются к физической производ­ственной мощности предприятия.

Область переменных затрат

TFC

Область постоянных затрат

Объем производства

Л

I-

Q. ГО

$ А

А.

Нормальный интервал изменения объемов производства

Рис. 12.4. Линейная функция затрат: ТС = a + bQ

Заметим, что средние переменные затраты (AVQ и предельные затраты (MQ по­стоянны и равны между собой. Кривая средних общих затрат (АТС) асимптотически приближается к кривой средних переменных затрат. В пределах нормального интерва­ла изменений объемов производства кривая АТС выравнивается и величина А ТС оста­ется практически постоянной.

Квадратичные функции затрат. Как следует из табл. 12.2, возможно существование двух типов квадратичных функций. Первый тип описывается обобщенным уравнени­ем ТС= a + bQ — cQ². Соответствующие кривые затрат представлены на рис. 12.5. Как всегда кривая АТС асимптотически приближается к, кривой AVC. С увеличением объ­ема производства средние переменные затраты уменьшаются с постоянной скоростью, а предельные затраты уменьшаются еще быстрее. К сожалению, такая ситуация вряд ли будет наблюдаться при нормальном интервале изменения объема производства. Она может наблюдаться при вводе в действие нового производства, когда постоянные фак­торы производства являются избыточными по сравнению с переменными вводимыми факторами. Таким образом, уменьшение предельных затрат может быть связано с бо­лее эффективным использованием постоянных факторов, которые также вызывают уменьшение средних переменных затрат.

Квадратичная функция затрат второго типа описывается уравнением ТС = a + + bQ + cQ². Соответствующая кривая затрат представлена на рис. 12.6. Как пока­зано в варианте В, кривая AVC монотонно возрастает, а МС растет даже быстрее этой кривой. Так к&к кривая АТС асимптотически приближается к кривой AVCj она

Теория затрат: функции «затраты—выпуск»

должна пересекать кривую МС. Точка пересечения, в которой МС = АТС, а элас­тичность затрат равна 1, соответствует наиболее эффективному с точки зрения за­трат объему производства.

В.

TFC

AVC =

S.

го

$ Д

Га О.

СО ГО

Объем производства Объем производства

Рис. 12,5. Квадратичная функция затрат: ТС — а + bQ — cQ¹

А. В.

$ -

MC =

ТС

Л

IE о.

IV

П

Область

переменных

затрат

TFC

Область

постоянных

затрат

2cQ

-*- Q

Объем производства

Объем производства

Q

Рис. 12.6. Квадратичная функция затрат: ТС = a + bQ + cQ²

Кубическая функция затрат. Обычно в учебниках по экономике в качестве ти­пичной рассматривается не линейная или квадратичная, а кубическая функция затрат типа ТС — a + bQ — cQ² + dQⁱ. Эта функция соответствует закону леремен-ных пропорций. Кривые, соответствующие такой функции затрат, представлены на рис. 12.7.

Так как функция ТС является кубической, кривые АТС и МС — квадратичные, и их значения вначале снижаются, а затем и увеличиваются. Минимуму МС, где спад пре-

Глава 12. Анализ затрат

дельных затрат сменяется увеличением, соответствует точка перегиба кубической функ­ции. Точка пересечения кривых МСиАТС, в которой МС= АТСие_с- 1, соответствует наиболее эффективному с точки зрения затрат уровню производства. Если объем про­изводства превысит этот уровень, то затраты на обслуживание машинного парка и почасовая плата за труд увеличатся. Общие затраты за счет этого также будут увеличи­ваться (даже с большей скоростью).

Го

Л

I-

,3.

ГО

МС > АТС

МС < АТС

ес< 1	гс> 1
	Общие
	1 затраты, ТС
Увеличе-
ние	/ Снижение
доходов		f ДОХОДОВ
		-^^ Точка
/		перегиба Общие
		постоянные
		затраты, TFC
		Предельные
Л		затраты, МС /
		1 Средние
\ \		/ общие
\	У	/ ^s* затраты, АТС

Объем производства

Рис. 12.7. Кубические функции затрат и эластичность общих затрат

В большинстве случаев кубические функции такого вида представляют собой чисто теоретические обобщения. Попытки с помощью таких функций аппроксимировать эмпирические данные были лишь частично успешными (см. следующую главу). Одной из причин того, что кубическая функция не вполне подходит для описания эмпиричес­ких данных, является то, что они очень часто относятся только к нормальному интер­валу. Как было показано ранее, функция затрат в нормальном интервале линейна или близка к линейной, а предельные затраты почти постоянны.

Теория затрат: функции «затраты—выпуск»

Иллюстративная задача

Функция общих затрат для фирмы «Randolph Enterprises» имеет спедующий вид:

ТС= 100Q - 3Q² + 0,Ю³.

Вопросы

а. Определите объем производства, для которого удельные затраты мини­
мальны.

б. Определите объем производства, для которого предельные затраты мини­
мальны.

в. Определите эластичность затрат, если Q = 12.