Перестановки

Означення. Перестановками називаються розміщення із елементів по і позначаються .

Згідно з означенням

.

Добуток всіх натуральних чисел від 1 до позначається (читається факторіал).

Таким чином,

.

Тоді формула для обчислення кількості перестановок запишеться:

. (3)

При цьому мається на увазі, що .

Зауваження. Іноді зустрічається позначення . Прийнято вважати за означенням, що .

Приклад. Скільки п’ятизначних телефонних номерів, можна скласти використовуючи цифри 3, 4, 5, 6, 7 (без повторень)?

Розв’язання. Оскільки кожний номер телефона складається з п’яти цифр і за умовою використовуються тільки названі 5 цифр, то такі номери будуть відрізнятися тільки порядком цифр, тобто це будуть перестановки, і їх кількість доріврнює:

.

1.1.3. Комбінації (сполучення)

Означення. Комбінаціями (сполученнями) із елементів по (позначається ) називаються ті розміщення із елементів по , які відрізняються хоча б одним елементом.

Число комбінацій обчислюється за формулою

. (4)

Формулу (4) пояснимо на такому прикладі. Нехай дано чотири елемента , комбінаціями з цих елементів по 3 будуть:

.

(Порядок елементів в комбінаціях ролі не грає). Якщо в кожній з цих комбінацій зробити всі можливі перестановки, то дістанемо всі можливі розміщення з чотирьох елементів по 3:

abc	abd	acd	bcd
acb	adb	adc	bdc
bac	bda	cad	cbd
bca	bad	cda	cdb
cab	dab	dac	dbc
cba	dba	dca	dcb

Число таких розміщень дорівнює .

Таким чином, число всіх розміщень з елементів по дорівнює числу всіх можливих комбінацій елементів по , помноженому на число всіх перстановок, які можна зробити із елементів, тобто

,

звідки і випливає формула (4).

В данному прикладі

.

Домножимо чисельник і знаменник у формулі (4) на , тоді отримаємо

. (5)

За означенням приймають . Це означення можна отримати із формули (5), якщо прийняти до уваги, що (див. зауваження в 1. 2).

Зауваження. При обчисленні числа комбінацій іноді зручно користуватись співвідношенням:

. (6)

Дійсно, якщо за формулою (5) записати , то отримаємо:

. (7)

Останній вираз збігається з правою частиною у формулі (5).

Відмітимо ще, що числа , є коефіцієнтам у біномі Ньютона:

(8)

причому згідно з рівністю (6) коефіцієнти, рівновіддалені від кінців у формулі (8), рівні між собою, тобто,

і т. д.

Приклад 1. Записати за формулою (8) , , , обчисливши біноміальні коефіцієнти за формулами (4) і (6).

Приклад 2. Скількома різними способами можна заповнити картку спортлото, в якій із 49 чисел необхідно вибрати 6?

Розв’язання. Дві заповнені картки вважаються різними, якщо серед вибраних 6 чисел вони відрізняються хоча б одним числом, тобто це будуть комбінації, а їх кількість дорівнює:

.

Приклад 3. Скількома способами в даному таймі тренер може виставити на поле 5 баскетболістів, якщо у команді 10 гравців, причому одного із провідних гравців тренер планує задіяти у грі без заміни на весь тайм?

Розв’язання. Оскільки один з провідних гравців повинен бути постійно у грі весь тайм, то міняти прийдеться тільки 4-х гравців із решти 9, тобто отримаємо

.