Системы с модифицированным упредителем Смита и компенсацией кратного высшего возмущения

САР с линейным упредителем Смита, подверженная неизмеряемым возмущениям f 1(t), может работать неудовлетворительно, если передаточная функция объекта (рис. 2.9, 2.12) по каналу управляющего воздействия имеет полюса около начала ординат.

Для получения желаемых переходных процессов и нулевой статической ошибки при действии неизмеряемых возмущений f 1(t) предложена модификация алгоритма Смита с прогнозом для управления многомерными системами с запаздыванием (рис. 2.13: М (p) - динамический компенсатор, ).

В этом случае передаточная функция между внутренним возмущением f 1(t) и выходом у (t) определяется выражением

Если при этом передаточная функция регулятора W с(p) имеет интегратор, полюса М (p)могут иметь произвольные заранее выбранные значения

для – a₁ любых полюсов W _об(p);

,

то можно получить желаемые переходные процессы в системе при следующих условиях:

1) уравнение состояния объекта

, .

, u,

Рис. 2.12. Структурная схема САР с алгоритмом Смита

Рис. 2.13. Структурная схема модификации алгоритма Смита с прогнозом

;

;

;

2) уравнение состояния регулятора

, , .

3) динамическому компенсатору соответствует:

; , ,

где , , , ,

Вместе с тем получить желаемую реакцию системы на возмущение f ₁(t) можно путем переноса точки включения стабилизирующего устройства на выход опережающего участка объекта регулирования и замены передаточной функции объекта W _об(p), используемой в упредителе Смита в качестве внутренней отрицательной обратной связи, на коэффициент усиления объекта k _ин. Однако это снижает быстродействие системы при отработке задания.

Для восстановления быстродействия системы по заданию и получения желаемых переходных процессов на возмущения f ₁(t) и f ₂(t) рассмотрим усовершенствованный вариант модификации алгоритма Смита с прогнозом для управления многомерными системами с запаздываниями и неизмеряемыми ступенчатыми возмущениями, реализованный в схеме, изображенной на рис. 2.14, где W _об(p) = = W _оп(p) W _ин(p), т. е. в объекте выделены опережающий и инерционный участки: W c(p) = Wp (p).

Здесь передаточная матрица инерционного участка объекта обозначается в виде:

где w _ij (p)exp(- p t _ij) - передаточная функция между j -м входом и i -м выходом;

модель инерционного участка без запаздываний определяется матрицей

,

а матрица модели опережающего участка имеет вид

.

При этом выход Y (p) связан с возмущением F ₂(p) выражением

,

где M (p) = 1 + W_{kf 2}(p).

Здесь матрица компенсатора внешнего возмущения F ₂(p) имеет вид

,

а матрица корректора задания равна

.

Рис. 2.14. Структурная схема усовершенствованной модификации алгоритма Смита с прогнозом

За условие автономности принимаем условие диагональности матрицы [ I + W _р(p) W _ин(p) W _оп(p)], обращение в нуль внедиагональных элементов которой устраняет влияние связей между подсистемами. В скалярной форме условия равенства нулю внедиагональных элементов имеют вид:

i, ,

где

Обозначив через алгебраическое дополнение элемента

определителя |W|, с учетом известного соотношения при I = l получим /5/:

.

В частности при r = l имеем

.

Отсюда окончательно получаем выражение внедиагональных элементов матрицы условного регулятора W_y (p) = W _p(p) W _оп(p) через диагональные элементы

.

Так как выбор диагональных элементов матрицы регулятора при этом произволен, имеется возможность обеспечить помимо автономности ряд других условий. Если при этом М (p) имеет заданные полюса в левой полуплоскости, а регулятор содержит в алгоритме регулирования интегратор, то связь выхода системы с возмущением f ₂определяется только корнями

и полюсами M (p). Это позволяет получить желаемые переходные характеристики в системе при основных возмущениях.

Пусть уравнение состояния модели инерционного участка имеет вид

где p - целое положительное число;

x - (n ´ l)-мерная переменная состояния;

u - (m ´ 1)-мерный вход;

y ₁- m ´ 1 - мерный выход;

A, B и Ci - постоянные матрицы соответствующих размерностей;

t _i - запаздывания, соответствующие условию 0 = t₀ < t₁ < … < t _p.

При этом: система (А, В) - управляема;

– наблюдаема;

– наблюдаема;

Если W _ин(p)соответствует:

; ,

а вектор компенсатора М (p) представить в виде

где , , , , то динамический компенсатор, устраняющий влияние возмущений, будет соответствовать уравнению .

Вместе с тем следует отметить, что реализация компенсатора полной автономности и инвариантности по f ₂оказывается чаще всего нереализуемой. В связи с этим представляют интерес методы, позволяющие получить частичную автономность и инвариантность, при которых желаемые показатели качества достигаются приближенно.

Синтез инвариантных систем

На работу всех систем автоматического управления оказывают влияние непрерывно меняющиеся внешние условия, параметры самой системы и другие факторы.

Относительно этих факторов в зависимости от рассматриваемой задачи делают различные предположения. Предположим, что каждый из непрерывно меняющихся факторов может быть представлен в виде произвольно меняющейся функции из некоторого класса допустимых функций; причем функции, входящие в этот класс, обладают одними и теми же свойствами. Очень часто их предполагают непрерывными и дифференцируемыми.

Если по условию задачи требуется, чтобы одна или несколько переменных системы не зависели от некоторого воздействия (внешнего или внутреннего), которое представляется функцией из класса допустимых воздействий, то в этом случае говорят об инвариантности выбранной переменной относительно указанного воздействия. Пусть работу системы управления описывают системой дифференциальных уравнений вида:

= f_i (t, x ₁,…, x_n, v, v ^’,…, vⁿ);

i =1, n,

где x ₁, …, x_n – обобщенные координаты системы управления; v (t), …, vⁿ – произвольное воздействие.

Проблему инвариантности координаты х, относительно воздействия v можно сформулировать как задачу отыскания условий на функции f_i, при выполнении которых значения координаты х не зависят от v.

Нередки случаи, когда на систему автоматического управления действуют не одна, а несколько возмущающих воздействий и ставится задача независимости каких-то координат от всех этих возмущений. Такие задачи называют задачами инвариантности.

Возникновения идей инвариантности связано с работами Г. В. Щипанова, который в 1939 г. сформулировал «условия компенсации» возмущений.

Пример структурного анализа влияния возмущения на одну из координат. Пусть система описывается системой уравнений

a ₁₁ x ₁ + a ₁₂ x ₂ = v (t);

a ₂₁ x ₁ + a ₂₂ x ₂ + a ₂₃ x ₃ = 0;

a ₃₂ x ₂ + a ₃₃ x ₃ = 0.

На основании приведенных уравнений можно составить структурную схему, позволяющую находить переменные х (рис. 2.15)

Рис. 2.15 Структурная схема системы

Из данной структурной схемы видно, что возмущение напрямую влияет на координату х ₁. При такой структуре системы практически невозможно обеспечить инвариантность координаты х ₁. Попробуем изменить порядок исходных уравнений:

a ₂₁ x ₁ + a ₂₂ x ₂ + a ₂₃ x ₃ = 0;

a ₃₂ x ₂ + a ₃₃ x ₃ = 0;

a ₁₁ x ₁ + a ₁₂ x ₂ + a ₁₃ x ₃ = v (t).

И составим новую структурную схему

Рис. 2.16. Преобразованная структурная схема системы

Вторая структурная схема имеет два канала для воздействий от возмущения v к переменной х ₁. Наличие двух каналов позволяет организовать прохождение возмущения таким образом, чтобы суммарный эффект от возмущения сводился к нулю. Поэтому можно считать, что для обеспечения инвариантности координаты х относительно возмущения v, необходимо обеспечить прохождение возмущения к координате х, как минимум, по двум координатам.

Это условие было названо Б. Н. Петровым «принципом двухканальности».

Рассмотрим использование данного принципа для одноконтурной системы рис. 2.17.

В данной системе возмущение v доступно измерению, что позволяет искусственно создать второй канал для прохождения возмущения на выход системы.

	g
		W об(p)

Рис. 2.17. Одноконтурная система управления

Новую систему можно представить в виде рис. 2.18.

		Wv (p)

Рис. 2.18. Структурная схема системы с компенсатором W_k (p)

На основании структурной схемы (рис. 2.18) можно записать условие компенсации возмущения v:

vW_k (p) W _p(p) = vW_v (p). (2.116)

Откуда имеем

W_k (p) = W_v (p)/ W _p(p). (2.117)

При условии физической реализуемости выражения (2.117) система обеспечивает полную инвариантность выходного сигнала y от возмущения v. Системы управления такого типа получили наименование комбинированных, поскольку эти системы реализуют как принцип управления, основанный на обратной связи, так и принцип управления по возмущению.

Синтез систем с комбинированным управлением осуществляется в два этапа. На первом этапе принимается равным нулю возмущение v и осуществляется синтез регулятора W _p(p) на основе одного из рассмотренных методов. После определения структуры и параметров W _p(p) переходят ко второму этапу синтеза системы – расчету W_k (p) на основании (2.). Если расчетная функция W_k (p) физически не реализуется, то необходимо разложить ее в ряд:

W_k (p) = C ₀ + C ₁ p + C ₂ p ² +… (2.118)

и ограничиться приведенными тремя составляющими. В этом случае система будет иметь лишь частичную инвариантность.

Контрольные вопросы

1. Перечислите типовые законы регулирования и необходимые условия для расчёта их параметров?

2. Изложите методику расчёта параметров одного из типовых регуляторов для обеспечения системой желаемого показателя колебательности?

3. Изложите методику синтеза каскадных систем автоматического управления?

4. Приведите схему автоматического управления с упредителем Смита?

5. Как выполнить синтез многомерной системы с автономным регулированием?

6. Как осуществляется синтез многомерных систем управления с заданными динамическими свойствами?

7. Опишите методику синтеза системы управления в области переменных состояния с заданными корнями характеристического уравнения?

8. Опишите синтез одноканальной системы управления, которая инвариантна к измеряемому возмущению?