Синтез систем управления объектами в области переменных состояния

Модель объекта управления в переменных состояния имеет вид:

= Ax (t) + Bu (t); (2.88)

Y (t) = cx (t). (2.89)

Пусть имеем скалярное управление, которое является функцией переменных состояния в виде

. (2.90)

Используя уравнение (2.88), можно записать характеристическое уравнение замкнутой системы

| pI - (A - BK)| = 0. (2.91)

По условиям синтеза корни характеристического уравнения должны иметь значения – p ₁, - p ₂, …, - p_n. Это позволяет записать характеристическое уравнение в виде

(p + p ₁)(p + p ₂)…(p + p_n) = pⁿ + a _{n -1} p^{n -1} + … + a₀ = 0. (2.92)

Приравнивая уравнения (2.91), (2.92)

| pI - (A - BK)| = pⁿ + a _{n -1} p^{n -1} + … + a₀ (2.93)

и коэффициенты при одинаковых степенях p, можно составить систему из n уравнений для нахождения коэффициентов k_i.

Решение данной задачи существенно упрощается, если уравнения состояния будут иметь вид

. (2.94)

Такая модель может быть получена, например, на основе передаточной функции объекта

. (2.95)

Матрица коэффициентов замкнутой системы (A - BK) имеет вид

. (2.96)

Характеристическое уравнение замкнутой системы записывается в виде

рⁿ + (a_{n -1} + k_n) p^{n -1} + … + (a ₁ + k ₂) + (a ₀ + k ₁) = 0. (2.97)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях p в уравнениях (2.96) и (2.97), получим

a_{i -1} + k_i = a_{i -1}. (2.98)

Откуда коэффициенты k_i находятся из уравнения

k_i = a _{i -1} - a _{i -1}. (2.99)

Рассмотренные методы синтеза можно дополнять методом Аккермана, основанном на формуле

K = [ B AB … A^{n -1} B ]^-1a(A), (2.100)

где a(А) – матричный полином, образованный на основе теоремы Гамильтона-Кели

a(A) = Aⁿ + a_n-1A^n-1 + … + a ₁A + a ₀ I; (2.101)

B ^T = [0 0 … 0 1]. (2.102)

В качестве примера рассмотрим синтез системы объекта управления

(2.103)

с желаемым характеристическим уравнением

p ² + (p ₁ + p ₂) p + p ₁ p ₂ = 0. (2.104)

Находим матрицу

, (2.105)

матрицу

(2.106)

и матрицу

. (2.107)

Определяем a(А) на основании (2.75):

.

(2.108)

Далее используем формулу (2.100):

(2.109)

Если рассматриваемый объект имеет векторное управление размерности m, то для нахождения элементов матрицы K можно использовать следующую идею. Будем искать желаемую (mn)-матрицу K в виде

K = qK ^, (2.110)

где q – (m 1) столбец, а K ^ – (1 n)-строка. Тогда матрица замкнутой системы управления

A ^ = A – BK = A - B ^ K ^, (2.111)

где В ^ = Bq – (n 1)-столбец.

Зададимся q = 0 из условия управляемости пары (АВ). В результате преобразований (2.110), (2.111) получаем задачу аналогичную рассмотренной ранее. Тогда, используя полученные выше алгоритмы для матриц А; В, находится строка К ^, которая обеспечивает любое заданное расположение собственных чисел. После чего рассчитывают матрицу К на основе (2.110). При этом необходимо правильно выбрать q. Если матрица А имеет простые собственные числа, то известно, что матрицу q можно выбрать практически любую.

Например, имеем

; . (2.112)

Пусть

. (2.113)

Тогда

. (2.114)

(2.115)

и условие управляемости выполняется.