Точечная оценка параметров

Согласно центральной предельной теореме, случайные величины, с которыми приходится иметь дело на практике, распределены по нормальному закону. Этот закон определяется двумя параметрами – математическим ожиданием а и средним квадратичным отклонением σ. Поэтому одна из основных задач статистики – определить значения этих параметров для признака Х в генеральной совокупности.

Математическое ожидание для генеральной совокупности объема N – это генеральная средняя. Она вычисляется по формуле

,

либо по аналогичной формуле с частотами.

Среднее квадратичное отклонение определяется через генеральную дисперсию: , где

.

Для этих параметров, естественно, напрашиваются оценки, полученные по выборке объема п с помощью аналогичных формул:

выборочная средняя

; (1)

выборочная дисперсия

. (2)

Но оценки параметров генеральной совокупности должны удовлетворять следующим обязательным требованиям.

Несмещенность. Выборочная оценка является случайной величиной. Несмещенность означает, что математическое ожидание этой случайной величины должно совпадать с настоящим значением оцениваемого параметра. Это значит, что полученное значение может отличаться от настоящего в ту или другую сторону, но в среднем должно совпадать с ним.

Состоятельность. Это значит, что точность оценки можно улучшить, увеличив объем выборки.

Кроме этих обязательных требований, есть желательное требование эффективности. Оно означает, что из всех возможных способов получения оценки мы выбираем наиболее эффективный в каком-то смысле: стоимости, затрат времени, и т.п.

Можно показать, что оценка генерального среднего посредством выборочного среднего удовлетворяет условиям несмещенности и состоятельности. Но оценка генеральной дисперсии через выборочную дисперсию не является несмещенной: среднее значение ожидается несколько меньше настоящего. Дело в том, что оценка была бы несмещенной, если бы в формуле (2) вместо стояло . Но нам не известно, а найдено именно для данной выборки, это ее среднее значение, и поэтому отклонения от в среднем меньше, чем от . Оказывается, этот недостаток можно исправить, если вместо выборочной дисперсии использовать исправленную выборочную дисперсию, вычисляемую по формуле

. (3)

Обозначение s ² связано с тем, что из полученного значения, извлекая квадратный корень, получаем оценку для среднего квадратичного отклонения, обозначаемую через s. Эта оценка является несмещенной и состоятельной.

Все вычисления проводятся с помощью специальных расчетных таблиц. Если вариационный ряд задан без указания частоты, то таблица может иметь следующий вид:

i	xi	xi 2
… n	M M	M M
	Σ1	Σ2

В первом столбце стоят номера от 1 до п, во втором исходные выборочные значения, третий столбец вычисляется по ним. В последней строке стоят суммы чисел в соответствующих столбцах. Вычисления производятся по формулам:

; . (4)

Если вариационный ряд задан с частотами вариант, то таблица будет иметь следующий вид:

i	xi	ni	xi ni	xi 2 ni
… m	M M	M M	M M	M M
		n	Σ1	Σ2

Если вариационный ряд является интервальным, то будут заданы границы интервалов, и в качестве x_i нужно взять середины этих интервалов. Вычисления в последних случаях производятся по тем же формулам (4).

Если значения вариант большие, то для облегчения вычислений вводят ложный нуль С. В качестве него обычно берут одно из средних значений вариант. Вычисления тогда оформляют в следующую таблицу:

i	xi	ni	xi – С	(xi – С) ni	(xi – С)2 ni
… m	M M	M M	M M	M M	M M
		n		Σ1	Σ2

В этом случае параметры рассчитывают по формулам:

; . (5)

Пример 1. Найти оценки для математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения некоторой величины по результатам измерений, приведенным в таблице.

Интервал	70 – 75	75 – 80	80 – 85	85 – 90	90 – 95	95 – 100
ni

Решение. Строим расчетную таблицу

i	Интервал	ni	xi	(xi – С)	(xi – С) ni	(xi – С)2 ni
	70 – 75 75 – 80 80 – 85 85 – 90 90 – 95 95 – 100		72,5 77,5 82,5 87,5 92,5 97,5	–10 –5	–50 –65

Таблица заполняется в следующем порядке. В первом столбце пишем порядковые номера, второй и третий берем из исходной таблицы. В столбце x_i находим середины интервалов. Одно из полученных значений берем в качестве ложного нуля, С = 82,5. Вычисляем три следующих столбца и находим нужные суммы, в частности, п = 84. Далее получаем:

= 86,4;

= 50,2;

s = = 7,1.