Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Непрерывную случайную величину невозможно задать, указывая вероятности, с которыми принимаются ее значения. Вероятность принять фиксированное значение равна 0. Имеет смысл говорить только о вероятности попадания в заданный промежуток. На этом основан способ задания случайной величины с помощью функции распределения, которая может быть определена для всех типов случайных величин, а не только для непрерывных.
Определение. Функцией распределения случайной величины Х называется функция F (x) = P (X < x).
Пример 1. Построить функцию распределения случайной величины Х:
X | |||
P | 0,3 | 0,6 | 0,1 |
Изобразить ее график.
Решение. Если x £ 0, то событие X < x невозможное: у Х нет значений, меньших 0. Поэтому для этого случая F (x) = 0.
Если 0 < x £ 1, то событие X < x означает, что Х = 1: это единственное значение Х, меньшее таких х. Поэтому для этого случая F (x) = 0,3.
Если 1 < x £ 3, то событие X < x означает, что Х принимает значение 0 или 1. Суммируя соответствующие вероятности, получаем для этого случая F (x) = 0,3 + 0,6 = 0,9.
Наконец, если x > 3, то событие X < x достоверное: все значения Х удовлетворяют неравенству X < x для таких х. Поэтому для этого случая F (x) = 1.
Следовательно, функция распределения имеет вид
Ее график:
Замечание. Соблюдать на графике одинаковый масштаб по осям абсцисс и ординат нет необходимости, так как по этим осям откладываются разнородные величины.
В приведенном примере график функции распределения разрывный, так как случайная величина дискретная. Для непрерывной случайной величины график функции распределения непрерывный.
Теорема 1.10.1. Свойства функции распределения.
1*. 0 £ F (x) £ 1.
2*. F (– ¥) = 0, F (+¥) = 1 (имеются в виду соответствующие пределы).
3*. Р (a < Х < b) = F (b) – F (a) (строгие неравенства можно заменить нестрогими).
Дадим графическую иллюстрацию последней формулы.
На рисунке вероятности попадания в промежутки (a, b) и (c, d) равны длинам соответствующих отрезков, выделенных на оси ординат жирными линиями. Видим, что хотя интервал (a, b) значительно короче (c, d), вероятность попадания в него больше. Причина этого в том, что на первом интервале график F (x) значительно круче, то есть функция F (x) возрастает быстрее. Но крутизна графика функции характеризуется ее производной, график которой дает более наглядное представление о скорости возрастания функции, чем график самой функции. На этом основан другой способ задания непрерывной случайной величины.
Определение. Плотностью вероятности случайной величины Х называется производная от ее функции распределения, то есть f (x) = F ¢(x).
Теорема 1.10.2. Свойства плотности вероятности.
1*. f (x) ³ 0.
2*. = 1.
3*. Р (a < Х < b) = (строгие неравенства можно заменить нестрогими).
4*. F (x) = .
Геометрический смысл свойства 2*: площадь под графиком функции f (x) равна 1. Геометрический смысл свойства 3*: вероятность попадания случайной величины в интервал (a, b) равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком f (x) и прямыми x = a, x = b.
С помощью плотности вероятности можно вычислить числовые характеристики непрерывной случайной величины.
Математическое ожидание:
МХ = .
Дисперсия:
DX = M (X 2) – M (X)2, где M (X 2) = .
Пример 2. Дана функция распределения случайной величины Х:
Найти ее плотность вероятности. Построить графики функции распределения и плотности вероятностей. Найти MX, DX, σ(X) и вероятность того, что 1< Х < 3.
Решение.
Графики функций приведены на рисунках.
Замечание. График функции распределения должен быть непрерывным. График плотности вероятностей может иметь разрывы, что мы и видим на рисунке. Это отразилось и на области определения этой функции: в точке 0 она определена, в точке 2 не определена.
МХ = = = = = ;
M (X 2) = = = = = 2;
DX = M (X 2) – M (X)2 = 2 – = ;
σ(X) = ;
Р (1< Х < 3) = F (3) – F (1) = 1 – = 0,75.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 409 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!