Доверительные интервалы

Оценки параметров распределения, найденные в предыдущем разделе, являются приближенными. Возникает естественная задача определить, насколько они могут отличаться от настоящих значений. Но точно определить это невозможно, все возможные отклонения носят вероятностный характер. Можно задать интервал около найденной оценки и определить вероятность того, что истинное значение параметра окажется в этом интервале. Понятно, что чем шире интервал, тем больше вероятность попадания в него, то есть тем больше надежность полученного результата. Но если интервал слишком широкий, то сам результат оказывается расплывчатым и, следовательно, мало пригодным для дальнейшего использования. Если же сужать интервал, то понижается надежность результата, то есть увеличивается вероятность ошибки. Улучшить оба этих показателя можно, увеличивая объем выборки.

На практике поступают в обратном порядке: задают требуемую надежность результата γ и по этой надежности определяют ширину интервала, в котором искомое значение параметра окажется с вероятностью γ. Этот интервал называется доверительным интервалом с надежностью γ для искомого параметра.

Покажем способ нахождения доверительного интервала для математического ожидания а. Рассмотрим сначала случай, когда известно среднее квадратичное отклонение σ. Найденная выборочная оценка для а является значением случайной величины, которую обозначим . Доверительный интервал имеет вид ( ­ – δ, + δ), где δ надо найти. Отклонение от а равно . Требуется, чтобы это отклонение не превышало δ с вероятностью γ, это заданная надежность. Эти рассуждения приводят к уравнению

.

Решение этого уравнения опирается на интегральную теорему Муавра - Лапласа, из которой получается соотношение

= 2 Ф(t),

где

.

В итоге получаем следующую последовательность действий. По таблице значений функции Ф(х) находим значение t, для которого

Ф(t) = . (1)

Затем вычисляем искомое δ по формуле

. (2)

Пример 1. Признак Х распределен нормально с известным σ = 0,75. По выборке объема п = 25 получено значение = 8,32. Найти доверительный интервал для математического ожидания а с надежностью γ = 0,99.

Решение. Уравнение (1) имеет вид Ф(t) = 0,495. По таблице значений функции Ф(х) находим t = 2,58. Подставляя в формулу (2), получаем

= 0,387.

Округляем до 0,01, как в значении . Получаем доверительный интервал

(8,32 – 0,39; 8,32 + 0,39) = (7,93; 8,71).

Если для генеральной совокупности σ не известно, то границы доверительного интервала окажутся шире, чем в приведенных расчетах. В этом случае δ также вычисляем по формуле (2), но значение t находим по специальной таблице распределения Стьюдента, зависящей от п и γ. В этом случае при п = 100 расхождение с результатом, полученным по формуле (1), составляет 1%; при n > 120 результаты практически совпадают. При уменьшении п расхождение увеличивается. Оно оказывается тем больше, чем выше требуемая надежность γ. Так, расхождение в 20% для γ = 0,95 имеет место при п = 9, для γ = 0,99 при п = 11, для γ = 0,999 при п = 19.

Пример 2. Признак Х распределен нормально с неизвестным σ. По выборке объема п = 25 получено значение = 8,32 и s = 0,75. Найти доверительный интервал для математического ожидания а с надежностью γ = 0,99.

Решение. По таблице распределения Стьюдента для п = 25 и γ = 0,99 находим t = 2,797. Подставляя в формулу (2), получаем

= 0,42.

Получаем доверительный интервал

(8,32 – 0,42; 8,32 + 0,42) = (7,90; 8,74).

Доверительный интервал для среднего квадратичного отклонения также рассчитывается с помощью специальных таблиц, зависящих от п и γ.