Условная вероятность

Рассмотрим случай, когда события не являются независимыми. Пусть, например, студент Иванов подготовил к экзамену 20 вопросов из 25, и в билет входит один вопрос. Тогда вероятность того, что студенту достанется хороший билет (событие А) равна 20/25 = 4/5. Пусть теперь студент выбирает билет вторым в очереди. Тогда вероятность события А зависит от того, какой билет вытянул первый студент Петров. Если он вытянул билет, который знает Иванов (событие В), то для Иванова вероятность вытянуть хороший билет понижается: из 24 оставшихся вопросов он знает 19, и вероятность события А будет равна 19/24. Эта вероятность называется условной и обозначается Р_В (А) или Р (А ï В) (читается «вероятность А при условии В»). Если же Петров вытянет билет, не подготовленный Ивановым (событие ), то для Иванова вероятность вытянуть хороший билет повышается: = 20/24 = 5/6.

В общем случае условная вероятность определяется формулой

Р_В (А) = . (1)

В частности, если события независимы, получаем

Р_В (А) = = = Р (А).

Из формулы (1) немедленно получаем формулу для вероятности произведения двух событий:

Теорема 1.6.1. Р (АВ) = Р_В (А) Р (В).

Особенность этой формулы в том, что в левую ее часть А и В входят симметрично, а в правую – не симметрично. Поэтому можно поменять А и В местами, и получим другую формулу для вероятности произведения двух событий:

Р (АВ) = Р (А) Р_А (В).

При решении задач можно пользоваться любой из этих формул.

Пример 1. Вероятность попадания в стоящее полено снежком равна 0,3. При попадании вероятность повалить полено равна 0,5. Какова вероятность, что полено будет повалено при одном бросании снежка?

Решение. Вводим события:

А – попадание в полено;

В – полено повалено.

В условии задачи даны вероятности: Р (А) = 0,3; Р_А (В) = 0,5. Поэтому искомая вероятность

Р (АВ) = Р (А) Р_А (В) = 0,3 ^. 0,5 = 0,15.

Теорема 1.6.1 может быть обобщена на случай произведения нескольких событий:

Теорема 1.6.2. Р (А ₁ А ₂ … А_n) = .

Несмотря на кажущуюся сложность этой формулы, суть ее очень простая и легко проясняется на следующем примере:

Пример 2. Из карточек с буквами выложено слово ТЕТЕРЕВ. Карточки перемешиваются, наугад извлекаются 4 карточки и выкладываются в ряд. Какова вероятность, что из них образуется слово ВЕЕР?

Решение. Вводим события:

А ₁ – 1-я буква В;

А ₂ – 2-я буква Е;

А ₃ – 3-я буква Е;

А ₄ – 4-я буква Р;

В – получилось слово ВЕЕР.

Тогда В = А ₁ А ₂ А ₃ А ₄, и Р (В) = . Здесь каждая условная вероятность в произведении есть вероятность вытащить нужную букву при условии, что все предыдущие буквы вынуты правильно. Она вычисляется по классической формуле: в знаменателе стоит общее число оставшихся букв, в числителе – число нужных букв. Имеем

Р (В) = .