Классическое определение вероятности. Пусть пространство элементарных событий для данного испытания состоит из n равновозможных исходов, и событию А благоприятствуют m из них

Пусть пространство элементарных событий для данного испытания состоит из n равновозможных исходов, и событию А благоприятствуют m из них. Тогда

P (A) = . (1)

Эта формула называется классическим определением вероятности. Обязательное условие ее применения – равновозможность исходов в пространстве элементарных событий. Условие равновозможности устанавливается из конкретных особенностей испытания. Например, при подбрасывании монеты равновозможность выпадения орла и решки следует из симметрии монеты; при подбрасывании игрального кубика равновозможность выпадения любого числа очков следует из того, что все грани кубика находятся в одинаковых условиях.

Пример 1. На карточках написаны числа 1, 2, 3, 4. Наугад выбираются три карточки. Какова вероятность, что сумма чисел на них делится на 3?

Решение. Перебираем все возможные варианты выбора чисел: 1+2+3 = 6; 1+2+4 = 7; 1+3+4 = 8; 2+3+4 = 9. Заключаем, что общее число исходов п = 4; число благоприятных исходов т = 2. Значит, искомая вероятность р = 1/2.

Обычно при решении задач на классическое определение вероятности для подсчета m и n используются формулы комбинаторики. При этом удобно придерживаться следующей примерной схемы рассуждений.

1. Определить, в чем заключается испытание.

2. Построить пространство элементарных событий для этого испытания, состоящее из равновозможных исходов, и подсчитать число n элементов в нем.

3. Сформулировать событие, вероятность которого требуется найти, и подсчитать число m благоприятствующих ему элементарных исходов из построенного пространства элементарных событий.

4. Найти вероятность по формуле (1).

Пример 2. Какова вероятность, что наудачу выбранное трехзначное число состоит из нечетных цифр?

Решение. Испытание: выбор трехзначного числа. Число исходов п – это число трехзначных чисел; n = 999 – 99 = 900 (от самого большого трехзначного числа отнимаем самое большое число с меньшим числом цифр). Чтобы построить трехзначное число из нечетных цифр, надо выбрать 3 цифры из пяти нечетных. Порядок их в числе важен, и возможны повторения. Поэтому m = = 5³ = 125. Тогда р = .

Пример 3. Какова вероятность, что наудачу выбранное трехзначное число состоит из четных цифр?

Решение. Воспользуемся примером 2. Число исходов n = 900. Чтобы построить трехзначное число из четных цифр, надо выбрать 3 цифры из пяти четных: 0, 2, 4, 6, 8. Но на выбор есть ограничение: первая цифра не может быть нулем. Поэтому m найдем непосредственным подсчетом. Первую цифру можно выбрать 4 способами, вторую и третью 5 способами каждую. А так как нужно выбрать все три цифры, то действует принцип произведения, согласно которому m = 4 ^. 5 ^. 5 = 100. Тогда р = .

Пример 4. Какова вероятность, что при бросании двух игральных кубиков в сумме выпадет 7 очков?

Решение. Испытание: бросание двух игральных кубиков. Если в качестве пространства элементарных событий рассматривать сумму очков или комбинацию очков на двух кубиках без учета порядка, то такие исходы не будут равновозможны. Действительно, комбинация 3+4 может быть получена двумя сособами, а 3+3 только одним. Чтобы сделать исходы равновозможными, мы берем различные кубики, например, черный и белый. На число выпавших очков это никак не повлияет. В качестве исходов будем рассматривать пары чисел: первое показывает число очков на черном, второе – на белом кубике. Если зафиксировать первое число, то значения второго между собой равновозможны. Если зафиксировать второе число, то значения первого между собой также равновозможны. Значит, все пары между собой равновозможны. Их число п = 6² = 36. Чтобы найти т, просто перечислим все исходы из построенного пространства элементарных событий, дающие нужную сумму: 7 = 1+6 = 2+5 = 3+4 = 4+3 = 5+2 = 6+1. Значит, т = 6, и р = 6/36 = 1/6.