Случайные величины. В предыдущих темах математической обработке подвергались только вероятности событий

В предыдущих темах математической обработке подвергались только вероятности событий. Важной представляется ситуация, когда сами события имеют математический смысл: например, когда указывается число выпавших очков при подбрасывании игрального кубика, или число успехов в схеме Бернулли. В этих случаях испытание заключается в случайном выборе некоторого числа. Задается некоторое числовое множество, из которого производится выбор, и выбираемой число является переменной величиной, принимающей случайные значения. Эта переменная называется случайной величиной.

Среди случайных величин выделяются дискретные и непрерывные. Дискретные могут принимать либо конечное число значений, либо бесконечное, но значения отделены друг от друга числовыми промежутками (в этом смысл термина дискретность). Непрерывная случайная величина принимает значения из некоторого числового промежутка. Например, непрерывной случайной величиной является отклонение размера изготовленной детали от расчетного значения.

Задать закон распределения случайной величины – это значит описать ее поведение. Закон распределения несет информацию о значениях случайной величины и вероятностях, с которыми эти значения принимаются.

Конечную дискретную случайную величину Х можно задать с помощью таблицы, в которой указываются значения случайной величины и вероятности, с которыми эти значения принимаются. Такая таблица имеет вид

X	x 1	…	xn
P	p 1	…	pn

Обязательное условие: сумма вероятностей во второй строке равна 1. Такая таблица называется ряд распределения.

Случайная величина может быть задана также с помощью формулы. Например, число успехов в п испытаниях в схеме Бернулли – это случайная величина, принимающая значения от 0 до п. Соответствующие вероятности определяются формулой Бернулли.

Константу также можно рассматривать как случайную величину, принимающую единственное значение с вероятностью 1.

Способы задания непрерывной случайной величины будут описаны ниже.

Две случайных величины Х и Y являются независимыми, если для любого множества значений А случайной величины Х и любого множества значений В случайной величины Y независимыми являются события: «значение Х принадлежит множеству А» и «значение Y принадлежит множеству B». По определению независимых событий это означает, что вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей. В частности, это относится к случаю, когда А и В состоят из одного значения.

Над случайными величинами определены следующие операции.

Умножение на число. При умножении случайной величины Х на число с все значения Х умножаются на с, а вероятности остаются прежними.

Сложение случайных величин. При выполнении этой операции все значения случайных величин попарно складываются. Для независимых случайных величин вероятность каждого получившегося суммарного значения равна произведению соответствующих вероятностей. При выполнении операции могут получаться одинаковые суммы, тогда эти суммы нужно объединить в одно значение, сложив соответствующие вероятности. Для зависимых случайных величин вероятность для любой суммы определяется характером зависимости.

Умножение случайных величин. При выполнении этой операции все значения случайных величин попарно перемножаются. Вероятности определяются так же, как при сложении.

Возведение случайной величины Х в степень. Все значения случайной величины Х возводятся в эту степень, вероятности остаются прежними. При появлении одинаковых значений они объединяются в одно, соответствующие вероятности складываются.

Аналогично можно вычислять другие функции от случайных величин.

Пример 1. Заданы ряды распределения независимых случайных величин Х и Y.

X	–1				Y
P	0,3	0,2	0,5		P	0,6	0,4

Постройте ряды распределения для 2 Х, X+Y, XY, X ².

Решение. Для 2 Х результат получается сразу:

2 X	–2
P	0,3	0,2	0,5

Для X+Y сначала находим попарные суммы, перемножая соответствующие вероятности:

X+Y
P	0,18	0,12	0,12	0,08	0,3	0,2

Замечаем, что среди получившихся значений суммы оказалось два одинаковых, равных 3. Объединяем их, сложив соответствующие вероятности. Значения переставляем, располагая их в порядке возрастания:

X+Y
P	0,18	0,12	0,42	0,08	0,2

Аналогично находим произведение случайных величин:

XY	–2	–4
P	0,18	0,12	0,12	0,08	0,3	0,2

После объединения одинаковых значений и упорядочивания получаем

XY	–4	–2
P	0,12	0,18	0,2	0,3	0,2

При нахождении Х ² также происходит объединение значений и упорядочивание:

Х 2					Х 2
P	0,3	0,2	0,5		P	0,2	0,8

Поведение случайной величины характеризуется различными параметрами. Один из основных – это математическое ожидание, смысл которого – среднее значение случайной величины. Но это не среднее арифметическое, а среднее значение с учетом вероятностей, с которыми принимаются значения случайной величины.

Для дискретной случайной величины Х математическое ожидание вычисляется по формуле

MX = x ₁ p ₁ + … + x_np_n = (1)

Теорема 1.9.1. Свойства математического ожидания.

1*. М (С) = С, где С – константа.

2*. М (СХ) = С МХ, где С – константа.

3*. М (X + Y) = MX + MY.

4*. М (XY) = MX ^. MY, если Х и Y независимы.

Другая характеристика случайной величины – это дисперсия, характеризующая разброс значений случайной величины относительно среднего значения. Она вычисляется по формуле

DX = M ((X – MX)²) (2)

Смысл этой формулы следующий. Сначала берем отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания, то есть случайную величину Х – МХ. Отклонения могут иметь положительный или отрицательный знак. Нас интересует среднее значение отклонения без учета знака, то есть модуля отклонения. Но модуль – это функция, неудобная для математической обработки, так как производная от нее является разрывной функцией. Поэтому вместо модуля, чтобы убрать знак, берут квадрат разности и ищут его среднее значение.

Теорема 1.9.2. Свойства дисперсии.

1*. DС = 0, где С – константа.

2*. D (СХ) = С ² МХ, где С – константа.

3*. D (X + Y) = DX + DY,если Х и Y независимы.

4*. DX = M (X ²) – (MX)².

Последняя формула обычно используется вместо определения для практического вычисления дисперсии.

Если случайная величина получена в результате физических измерений и имеет размерность (масса в кг, длина в м, время в с и т.д.), то дисперсия будет иметь квадратную размерность. Поэтому дисперсия не дает среднее значение разброса, а только позволяет его оценить. Среднее значение разброса показывает среднее квадратичное отклонение, вычисляемое по формуле

(3)

Пример 2. Задан ряд распределения случайной величины Х.

X
P	0,3	0,2	0,1	0,4

Найдите МХ, DX, σ(X).

Решение.

МХ = 0 ^. 0,3 + 1 ^. 0,2 + 3 ^. 0,1 + 5 ^. 0,4 = 2,6;

M (X ²) = 0^{2 .} 0,3 + 1^{2 .} 0,2 + 3^{2 .} 0,1 + 5^{2 .} 0,4 = 11,1;

DX = M (X ²) – M (X)² = 11,1 – 2,6² = 4,34;

= = 2,08.