Теорема додавання ймовірностей для несумісних подій

Т е о р е м а 2.1. Імовірність появи однієї з двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій, а саме:

Д о в е д е н н я

Уведемо такі позначення: n – загальна кількість можливих елементарних виходів випробування, m ₁ – кількість елементарних виходів, сприятливих для події А; m ₂ – кількість елементарних виходів, сприятливих для події В.

Кількість елементарних виходів, сприятливих для події А + В, буде дорівнювати (m ₁ + m ₂).

Тоді

.

Отже, теорему доведено.

Н а с л і д о к 1. Імовірність появи однієї з кількох попарно несумісних подій, дорівнює сумі ймовірностей цих подій, тобто

Н а с л і д о к 2. Якщо події А₁, А₂, … А_n утворюють повну групу несумісних подій, то сума їх імовірностей дорівнює 1, а саме:

Н а с л і д о к 3. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює 1.

П р и к л а д 2.4. У лотереї 1000 білетів, з них один білет виграє 500 грн, 10 білетів виграють 100 грн, 50 білетів виграють 20 грн, 100 білетів виграють 5 грн. Решта білетів не мають виграшу. Знайти ймовірність виграти не менше 20 грн, якщо куплено один білет.

Р о з в ’ я з у в а н н я

Розглянемо такі події:

А – виграш не менше 20 грн,

А₁ – виграш 20 грн,

А₂ – виграш 100 грн,

А₃ – виграш 500 грн,

Зрозуміло, що А = А ₁+ А ₂ + А ₃. За теоремою додавання ймовірностей

.

П р и к л а д 2.5. Консультаційний пункт навчального закладу отримує пакети з контрольними роботами з міст А, В, С. Імовірність отримання пакета з міста А дорівнює 0,7, з міста В – 0,2. Знайти ймовірність отримання пакета з міста С.

Р о з в ’ я з у в а н н я

Події А – пакет отримано з міста А, В – пакет отримано з міста В та С – пакет отримано з міста С, утворюють повну групу подій, тому сума їх ймовірностей дорівнює одиниці, тобто

Звідси Р (С) = 1 – 0,9 = 0,1.