Теореми множення ймовірностей

Подія В називається залежною від події А, якщо її ймовірність змінюється залежно від того, відбулася подія А чи ні.

Імовірність події В, за умови, що відбулася подія А, називається умовною ймовірністю події В та позначається як Р (В/А) або Р_А (В).

Наприклад, розглянемо таке випробування: нехай в урну покладено n чорних та m білих куль. З неї послідовно виймають дві кулі. Розглянемо такі події:

А – поява першою білої кулі,

В – поява другою білої кулі.

Якщо подія А відбулася, тобто з урни першою витягли білу кулю, то ймовірність події В буде становити , тобто .

Якщо подія А не відбулася, тобто з урни першою витягли чорну кулю, то ймовірність події В дорівнює .

Таким чином, події А та В залежні.

Події А та В називають незалежними, якщо ймовірність появи однієї з них не залежить від того, відбулася інша подія чи ні.

Мають місце такі теореми:

Т е о р е м а 2.2. Імовірність добутку незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій, а саме:

Т е о р е м а 2.3. Ймовірність добутку залежних подій дорівнює добутку ймовірності першої події та умовної ймовірності другої, тобто

,

де Р (А/В)– імовірність події В, за умови, що подія А вже відбулась.

Ці теореми можуть бути узагальнені й для випадку, коли число подій більше від двох.

Для незалежних подій .

Для залежних подій

.

П р и к л а д 2.6. В урні лежать 2 білих і 3 чорних кулі. Виймають підряд 2 кулі. Знайти ймовірність того, що кулі будуть чорними.

Р о з в ’ я з у в а н н я

Розглянемо події А ₁ – перша куля чорна та А ₂ – друга куля чорна. Події А ₁ та А ₂ залежні (див. приклад), тому

Відповідь: 0,3.

П р и к л а д 2.7. Знайти ймовірність появи двох шісток при киданні двох гральних кубиків.

Р о з в ’ я з у в а н н я

Розглянемо події: А – випала шістка при першому киданні кубика,

В – випала шістка при другому киданні.

Події А та В незалежні, тому

.

Відповідь: 1/36.

Т е о р е м а 2.4. Імовірність появи хоча б однієї з подій А ₁, А ₂, … А_n дорівнює різниці між одиницею та добутком імовірностей протилежних подій , а саме:

П р и к л а д 2.8. Відомі ймовірності влучення в ціль при стрільбі кожної з трьох гармат відповідно: р ₁= 0,9, р ₂= 0,8, р ₃= 0,6. Знайти ймовірність принаймні одного влучення в ціль при залпі з трьох гармат.

Р о з в ’ я з у в а н н я

Позначимо події таким чином В – принаймні одне влучення, А ₁ – влучення в ціль пострілом першої гармати, А ₂ – влучення пострілом другої гармати, А ₃ – влучення пострілом третьої гармати.

Тоді ймовірності промахів відповідно обчислюються таким чином:

А ймовірність того, що всі три гармати не влучать у ціль,

Відповідно, ймовірність хоча б одного влучення в ціль (згідно з теоремою 2.4) буде такою:

Відповідь: 0,992.