Формули Бейєса

Нехай подія А може відбутися лише при настанні однієї з несумісних подій В ₁, В ₂, …, В_п, що утворюють повну групу. Оскільки наперед невідомо, яка з подій В ₁, В ₂, …, В_п відбудеться, їх називають гіпотезами. За формулою повної ймовірності ми можемо визначити ймовірність події А таким чином:

(2.2)

Тепер припустимо, що подія А відбулася. Поставимо за мету визначити, як змінилися (внаслідок того, що подія А відбулася) ймовірності гіпотез. Тобто будемо шукати умовні ймовірності

За теоремою множення записуємо, що

.

Тоді

.

Підставляючи замість Р(А) вираз (2.2), отримуємо таке співвідношення:

.

Так само визначаються ймовірності Тобто умовна ймовірність будь-якої гіпотези В_і (і = 1, 2, …, n) може бути обчислена за такою формулою:

.

Отримані формули називаються формулами Бейєса.

П р и к л а д 2.12

На двох керамічних заводах випускаються облицювальні плитки. Перший завод випускає 60% загальної кількості, другий – 40%. При цьому на першому заводі виготовляється 70% плитки вищої якості, на другому – 80%. На будівництво попадає продукція першого та другого заводів. Яка ймовірність того, що отримана плитка буде вищої якості? Знайти ймовірність того, що плитка вищої якості виготовлена на першому заводі.

Р о з в ’ я з у в а н н я

Нехай подія А – отримання плитки вищої якості, В ₁ – плитку виготовлено на першому заводі, В ₂ – плитку виготовлено на другому заводі.

Тоді

Р(В₁)= 0,6; Р(В₂)= 0,4;

; .

За формулою повної ймовірності розраховуємо, що

Імовірність того, що отримано плитку вищої якості, дорівнює 0,74.

Визначимо ймовірність гіпотези В ₁ за формулою Бейєса.

Отже, ймовірність того, що отримана плитка вищої якості була виготовлена на першому заводі, дорівнює 21/37.