Производная параметрически заданной функции, неявной функции

Иногда, прежде чем находить производную от заданной функции, ее необходимо преобразовать, чтобы процесс дифференцирования упростился. Например, функции вида , где , сначало целесообразно прологарифмировать:

.

По свойству логарифма: . Дифференцируя последнее выражение, получим:

.

Умножим обе части на : .

Заменяя через , получим: .

При отыскании производной функции вида , следует пользоваться методом логарифмирования или применять последнюю формулу.

Задача 1. Найти производную функции .

Решение: прологарифмируем обе части равенства: . По свойству логарифмов:

.

Дифференцируя полученное равенство, имеем:

,

.

Заменяя на , получим: .

Производная функции заданной параметрически где t – вспомогательная переменная, называемая параметром, вычисляется по формуле:

.

Для нахождения производной функции, заданной неявно, нужно продифференцировать по переменной х обе части уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение разрешить относительно у¢.

Задача 2. Найти производную: .

Решение. В данном случае функциональная зависимость задана в неявном виде. Для нахождения производной нужно продифференцировать по переменной х обе части уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение разрешить относительно у¢:

Из последнего уравнения находим у¢: .

Задача 3. Найти производные следующих функций:

3.1 3.11

3.2 3.12

3.3 3.13

3.4 3.14

3.5 3.15

3.6 3.16

3.7 3.17

3.8 3.18

3.9 3.19

3.10 3.20

Задача 4. Найти производные следующих функций, предварительно преобразовав их:

4.1 4.9

4.2 4.10

4.3 4.11

4.4 4.12

4.5 4.13

4.6 4.14

4.7 4.15

4.8

Задача 5. Найти производные функций заданных неявно.

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

Задача 6. Найти для функций заданных параметрически

7.1

7.2

7.3

7.4

7.5