Монотонность, экстремумы функции

Дифференцируемая функция является монотонно возрастающей на интервале (a, b) тогда и только тогда, когда , и монотонно убывающей, если .

Точка называется критической точкой, если имеет место одно из условий:

1) ; 2) ; 3) функция в точке определена, но не существует.

Первое достаточное условие экстремума. Если при переходе через критическую точку первая производная меняет знак, то данная точка является точкой экстремума.

Критическая точка является точкой максимума, если при переходе через данную точку производная меняет знак с «+» на «–» и точкой минимума, если – с «–» на «+».

Второй достаточный признак экстремума. Если в критической точке функция f (x) дважды дифференцируема и если при этом f "(x ₀) 0, то есть точка экстремума функции f (x):

точка максимума при f "(x ₀)<0,

точка минимума при f "(x ₀)>0.

Задача 1. Найти экстремумы функции f (x) =x ³–3 x² –9 x+ 11.

Решение. Находим f '(x)=3 x ²– 6 x– 9. Производная определена на всей оси Ох; поэтому критическими точками будут только те точки, где f '(x)=0, т. е. действительные корни уравнения 3 x ²– 6 x – 9=0, или x ²– 2 х– 3=0.

Решая это уравнение, находим две критические точки: х ₁= -1, x ₂=3. В промежутках (- , -1), (-1, 3), (3, + ) производная f (x) непрерывна и не обращается в нуль, в силу чего сохраняет в каждом из них постоянный знак. Подставляя в выражение f' (x) любые значения х, взятые из этих промежутков, определяем знаки f' (x) в них. Выбираем, например, значения х =-2, 0 и 4, лежащие в этих промежутках, и вычисляем

f' (- 2)= 15; f' (0) = -9; f' (4) = 15.

Таким образом, в промежутке (- , -1) производная f (x) сохраняет знак f '(-2), т. е. положительна; аналогично устанавливаем, что в промежутке
(-1, 3) она отрицательна, а в промежутке (3, -¥) — снова положительна.

Таким образом, в первой критической точке х ₁=-1 производная f '(x) изменяет знак с «+» на «–»; поэтому при х ₁=-1 f (x) имеет максимум, равный
f (-1)=16.

Во второй критической точке x ₂=3 производная f '(x) изменяет знак с «–» на «+»; поэтому при x ₂=3 f (x) имеет – минимум, равный f (3)= -16.

Тот же результат нам даст исследование этих критических точек по второму достаточному признаку. В самом деле, f" (x) = 6 x- 6 = 6(х -1); подставляя во вторую производную критические точки, т. е. значения х ₁= -1 и х ₂=3, находим f" (-1)= -12; f" (3)= + 12; это показывает, что точка х ₁= -1 есть точка максимума, а точка x ₂= -3 - точка минимума.