Требования совместности условий

В общую постановку задачи оптимизации входят неравенства вида

где n – число неизвестных; m – число неравенств. Если в каждое неравенство добавить переменную , то от системы неравенств можно перейти к системе уравнений

.

В этой системе общее число неизвестных N = n + m, где n – число основных неизвестных x_j; m – число дополнительных неизвестных y_i, которое равно числу уравнений.

Возможны три варианта соотношения величин N и m:

.

Пусть число неизвестных меньше, чем число уравнений.Например,

то есть N = 1, m = 2. Очевидно, эта система решения не имеет, то есть нет таких значений x ₁, которые бы удовлетворяли обоим уравнениям. В этом случае говорят, что система условий несовместна.

n Если число неизвестных N меньше числа уравнений m, то система решения не имеет и является несовместной.

Пусть число неизвестных равно числу уравнений. Например,

.

Решением этой системы будут значения x = y = 1.

n Линейная система, в которой число неизвестных N равно числу уравнений m, имеет одно решение.

Наличие или отсутствие решений при различных соотношениях числа переменных и числа уравнений справедливо только для линейно-независимых уравнений, которые не могут быть получены умножением, делением, сложением, вычитанием исходных уравнений.

Например, пусть есть уравнение 3 x = 6, из которого можно получить несколько: x = 2; 9 x = 18; 6 x = 12 и т.д. Все эти уравнения будут линейно зависимыми, и новых сведений о зависимостях для переменной не содержат. Поэтому в этом примере m = 1 (а не 4).

Аналогично в следующей системе есть только два линейно независимых уравнения, так уравнение (в) есть результат суммирования (а) и (б), а уравнение (г) есть результат деления (в) на 5:

.

Пусть число неизвестных больше числа уравнений. Например, 2 x ₁ + x ₂ = 2. Очевидно, что все значения x ₁ и x ₂, лежащие на прямой этого уравнения, являются его решением. Значит, это уравнение имеет бесчисленное множество решений.

n Если в системе число неизвестных N больше числа уравнений m, то такая система имеет бесчисленное множество решений.

В случае, когда система имеет более одного возможного решения, может быть поставлена задача оптимизации. При этом суть такой задачи, как мы уже знаем, заключается в том, чтобы из всех допустимых решений, удовлетворяющих ограничениям и граничным условиям, выбрать такое, которое придает целевой функции оптимальное, то есть максимальное или минимальное значение.

Если все ограничения и целевая функция линейны, задача оптимизации, как нам известно, является задачей линейного программирования.