Исторический обзор

Экономико-математические методы и модели применяют с целью отыскания наилучшего решения, т.е. решения, оптимального в том или ином смысле (максимума или минимума).

Поиск наилучшего решения занимал умы людей на протяжении многих веков. Еще Евклид описал способы построения наибольшего и наименьшего из отрезков, соединяющих данную точку с окружностью, и показал, как среди параллелограммов с заданным параметром найти параллелограмм максимальной площади.

В Древнем Вавилоне и Древнем Египте математика (от греческого mathma – знание) – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира – преподавалась как система практических навыков, крайне важных для работы государственных чиновников. В “Диалогах” Архимеда (3 в. до н. э.) особенно акцентируется внимание на необходимости нематематических следствий как «очередного шага» после математических выводов.

Великие математики XVII и XVIII вв. развили новые методы оптимизации для решения комплекса задач геометрии, механики, физики. К таким задачам, например, относится отыскание минимальных поверхностей вращения или кривой наибыстрейшего спуска.

Становление математических методов анализа и выработки хозяйственных решений как самостоятельной ветви математики произошло в XVIII веке.

Перефразируя изречение Галилея, можно сказать, что экономика излагается в большом количестве монографий, инструкций, положений, но понять ее может лишь тот, кто научился понимать ее язык и знаки, которыми она написана. Написана же она на математическом языке – искусственном языке, характеризующемся точными правилами построения выражений и их понимания, а знаки ее – математические формулы.

Во Франции Франсуа Кенэ, врач и экономист, предпринял одну из первых попыток экономико-математического моделирования механизма движения финансов. Он построил экономическую таблицу, рассматривающую экономику государства как единую систему. Кенэ применил идею кровообращения человека к кругообороту экономических отношений.

Карл Маркс, используя таблицы Кенэ, ввел алгебраические формулы и мечтал «вывести главные законы кризисов». В работах Маркса впервые сделано математическое формализованное описание процесса расширенного воспроизводства.

В 1838 г. французский математик Антуан Курно выпустил книгу «Исследование математических принципов теории богатства». В ней была впервые предложена математическая зависимость спроса и цены товара. Эти величины связаны коэффициентом эластичности, который показывает, как изменяется спрос при росте или снижении цены на 1%. Функция спроса позволила вскрыть ряд закономерностей. Продавать дороже не всегда выгодно. Все зависит от коэффициента эластичности. Спрос на товары, для которых он больше единицы, при снижении цены растет так быстро, что общая прибыль от продажи увеличивается.

В 1874 г. швейцарский экономист Л. Вальрас ввел статистическую модель системы экономического равновесия, затем итальянский экономист В.Парето предложил модель распределения доходов населения.

Конец Х1Х и начало ХХ века характеризуется значительной активизацией работ развивающих математические методы решения экономических задач. Одной из первых задач, решенных на основе математического подхода, является «задача о землекопе», сформулированная Фредериком Тейлором в 1885 г. В задаче требовалось определить оптимальную разовую массу подбираемой земли, обеспечивающую максимум объема работ землекопа за день. Если землекоп за раз забирает много земли, то усталость его быстро нарастает. Если брать за раз мало земли, то падает общий объем работ.

В 1911 г. русский экономист Дмитриев И. описывает балансовые соотношения «продукты–ресурсы» с помощью линейных алгебраических выражений. В 20–е годы Струмилиным С.Г. сформулирована идея о составлении плана как результата решения оптимизационной задачи. Одновременно Базаров В.А., выделяя требования к плану, отмечает необходимость плавного изменения показателей, согласованности элементов системы, кратчайшего пути к цели. На методических разработках Базарова и Струмилина базировался первый годовой план страны 1925 г. В 30-х годах американским профессором Массачусетского технологического института В. Леонтьевым введены основы экономико-математических моделей «затраты-выпуск» для изучения межотраслевых связей.

Становление современного математического аппарата оптимальных экономических решений началось в 40–е годы, благодаря первым работам Н. Винера, Р. Беллмана, С. Джонсона, Л.В. Канторовича.

В 1938 г. перед двадцатипятилетним профессором ЛГУ Канторовичем Л.В. была поставлена задача: как наилучшим образом распределить работу восьми станков фанерного треста при условии, что известна производительность каждого станка по каждому из пяти видов обрабатываемых материалов. В 1939 г. выдающийся советский математик и экономист публикует работу «Математические методы организации и планирования производства», в которой впервые формулирует задачу линейного программирования и разрабатывает алгоритм ее решения. В 1975 г. совместно с американским ученым Купмансом Т. Канторович получил Нобелевскую премию за вклад в теорию оптимизации распределения ресурсов.

В последующие годы, когда применение математических методов в экономике СССР считалось крупной методологической ошибкой, их роль и значение недооценивалось, они начинают с конца 40-х годов интенсивно развиваться в США в рамках исследования операций, и, прежде всего, в военной области, например, оптимальное развертывание боевой авиации, максимизирующее шансы страны на победу в войне и др.

Исторически общая задача линейного программирования ставится в 1947 г. Данцигом Дж. и Вудом М. в департаменте ВВС США. Данцигом предлагается универсальный алгоритм решения задач линейного программирования, названный им симплекс-методом. В 1941 г. Хичкок и независимо от него Купсман в 1947 г. формулируют транспортную задачу, Стиглер в 1945 г. – задачу о диете. В 1952 г. было проведено первое успешное решение задачи линейного программирования на ЭВМ «Seac» в Национальном бюро стандартов США. С этого же периода интенсификация исследований в трудах Гасса, Баранкина и Дорфмана (квадратичное программирование), Беллмана и Дрейфуса (нелинейное программирование).

В 50–60-х гг. появляются значительные работы в области экономико-математического моделирования и у нас, в том числе: Канторович Л.В. «Экономический расчет наилучшего исследования ресурсов» (1959); Канторович Л.В., Гавурин М.К. «Применение математических методов в вопросах анализа грузопотоков» (1949); работы Новожилова В.В. по оптимальному планированию народного хозяйства. В 1960 г. академик Немчинов В.С. при Новосибирском отделении АН СССР создает лабораторию экономико-математического моделирования, в Киеве организуется институт кибернетики, возглавляемый академиком Глушковым В.М.

В наше время исследование операций применяют к определенному классу задач, связанному со сложными организационными структурами современного общества. Наша естественная склонность ставить и решать подобные задачи проявляется в выражениях типа «с наименьшими затратами», «максимальная прибыль», «полная отдача» и т.п. Сюда относятся задачи наиболее эффективного управления предприятием, распределения ресурсов, управления технологическими процессами, создания оптимальных конструкций, управления грузопотоками, персоналом и многие другие.

Эти задачи возникают не только в промышленности, но и в повседневной жизни каждого человека. Например, задача программирования утреннего одевания[1]. Мы должны выбрать программу действий, которая позволит одеться так, чтобы выполнялись определенные ограничения или общепринятые правила. Время – основной ресурс, и выбранная программа должна быть наилучшей в том смысле, в каком каждый понимает расход утреннего времени. Если программа включает шесть предметов одежды: ботинки, носки, брюки, рубашку, галстук, пиджак, то программа – любой порядок, в котором можно надеть эти предметы. Всего в этом случае существует 6! = 720 различных программ. Многие из них недопустимы (носки поверх ботинок, галстук под рубашку) и если их отбросить, все равно остается несколько допустимых программ, которые нужно исследовать. Как же выбрать окончательное, оптимальное решение?

В этой или любой другой задаче, где необходимо анализировать все возможные варианты решений, и выбрать единственный, оптимальный, имеется некая основная цель, позволяющая сравнивать эффективность этих допустимых вариантов (программ действий). Если мы сможем как-нибудь сравнить меры этих программ, то тем самым можем выбрать и оптимальную. Если эта мера – затраты времени, то оптимальная программа утреннего одевания: носки, рубашка, брюки, галстук, ботинки, пиджак – минимизирует время на одевание без нарушения общепринятых ограничений. Но может быть и другая мера – минимизация утреннего шума – как можно меньше открывать и закрывать дверцы и шкафчики. Тогда будет и другое оптимальное решение.

n Задачи математического программирования существуют только тогда, когда имеется много допустимых решений (по крайней мере, от двух и более). Если допустимое решение единственное, не возникает никакой проблемы по поиску решения.

Постановки задачи поиска оптимального решения известны еще из древности. Например, при изготовлении самого простого кувшина объективно требуют решения такие вопросы. Какой формы должен быть кувшин, чтобы при использовании имеющегося количества глины его объем был максимальным? Глина имеет некоторую стоимость, тогда – другая постановка вопроса. Какую выбрать форму, чтобы при заданной стоимости глины объем кувшина был максимальным? Или какой формы должен быть кувшин заданного объема, чтобы стоимость его была минимальной?

Такая же постановка задачи сохраняется независимо от того, что будут изготавливать спустя тысячелетия. Иными словами, существует одна из двух задач принятия решений, например, в проектировании оптимальных конструкций – сделать изделие:

- с заданными свойствами минимальной стоимости;

- заданной стоимости с максимальными свойствами.

Неоптимальное решение этих задач приводит к излишним затратам сырья и времени. Допустим, что при интуитивном распределении людей на работы возможность их использования по сравнению с оптимальным вариантом, рассчитанном на компьютере, ухудшается всего на 3%. Казалось бы, очень небольшая погрешность, на которую можно и не обратить внимание. Такая погрешность означала бы, например, в гончарном цехе прошлых веков с 30 работниками неполную загрузку в течение рабочего дня лишь одного из них. А в наши дни, если принять число занятых в народном хозяйстве 70 млн. человек, такая же погрешность может явиться причиной сокращения числа рабочих мест почти для 2 млн. человек.