Пример 4. Для производства изделий А, В, С используются три различных вида ресурсов

Для производства изделий А, В, С используются три различных вида ресурсов. Каждый из видов ресурсов может быть использован в количестве соответственно не большем 180, 210, 244 ед. Известны затраты каждого из видов ресурсов на ед. продукции и цена ед. продукции каждого вида (табл. 2.10).

Таблица 2.10

Исходные данные

Вид ресурса	Норма расхода ресурса на единицу продукции
А	В	С
Цена продукции

Определить план производства, при котором обеспечивается максимальный доход, и оценить дефицитность каждого из видов ресурсов, используемых для производства продукции.

Оценки, приписываемые каждому из видов ресурсов, должны быть такими, чтобы оценка всех используемых ресурсов была минимальной, а суммарная оценка ресурсов на производство единицы продукции каждого вида – не меньше цены единицы продукции данного вида.

Решение

Обозначим через x ₁ искомый план производства изделий А, через x ₂ – В, x ₃ – С, а через z ₁ двойственную оценку дефицитности первого вида ресурса, через z ₂ – второго, z ₃ – третьего.

Тогда прямая и двойственная задачи формулируются:

Прямая задача Двойственная задача

Решение прямой задачи дает оптимальный план производства изделий А, В, С, а решение двойственной задачи – оптимальную систему оценок ресурсов, используемых для производства этих изделий:

x₁⁰ = 0; x₂⁰ = 82; x₃⁰ = 16; max L₁ = 1340;

z₁⁰ = 5,75; z₂⁰ = 0; z₃⁰ = 1,25; min L₂ = 1340.

Исходя из анализа оптимальных двойственных оценок, можно сделать следующие выводы.

Ресурсы первого и третьего вида используются полностью. Полному использованию этих ресурсов соответствуют полученные оптимальные оценки z ₁⁰, z ₃⁰, отличные от нуля, то есть положительные двойственные оценки имеют ресурсы, полностью потребляемые при оптимальном плане производства. Значит, ресурс второго вида недоиспользуется (на 80 ед.)

n Двойственные оценки определяют дефицитность используемых ресурсов. Величина двойственной оценки показывает, на сколько возрастает максимальное значение целевой функции прямой задачи при увеличении количества соответствующего ресурса на единицу.

Так, увеличение количества ресурса первого вида на 1 ед. приведет к тому, что появится возможность найти новый оптимальный план производства изделий, при котором общий доход возрастает на 5,75 д.е. и станет равным 1340 + 5,75 = 1345,75 д.е. Анализ полученных оптимальных значений новой прямой задачи показывает, что это увеличение общего дохода достигается за счет увеличения производства изделий В на 0,625 ед. и сокращения выпуска изделий С на 0,25 ед. Вследствие этого использование ресурса второго вида уменьшается на 0,125 ед.

Точно также увеличение на 1 ед. количества ресурсов третьего вида позволит перейти к новому оптимальному плану производства, при котором доход возрастает на 1,25 д.е. и составит 1340 + 1,25 = 1341,25 д.е., что достигается за счет увеличения выпуска изделий С на 0,25 ед. и уменьшения выпуска В на 0,25 ед., причем объем используемого ресурса второго вида возрастает на 0,625 ед.

При подстановке оптимальных двойственных оценок в систему ограничений двойственной задачи получаем:

4 ^. 5,75 + 1,25 > 10;

2 ^. 5,75 + 1,25 = 14;

5,75 + 5 ^. 1,25 = 12.

Первое ограничение выполняется как строгое неравенство, то есть двойственная оценка всех ресурсов на производство единицы изделия А выше цены этого изделия и, следовательно, выпускать его невыгодно. Его производство и не предусмотрено оптимальным планом прямой задачи.

При одновременном изменении ресурсов всех видов на величину D b_i (i = 1.. m) можно оценить их суммарное влияние на значение целевой функции (при условии неизменности двойственных оценок в новой двойственной задаче относительно оценок в первоначальной двойственной задаче):

,

где D b_i – величина возможного (при сохранении оптимального плана первоначальной двойственной задачи) изменения (увеличения или уменьшения) ресурса i -го вида.