Классификация задач оптимизации

Во всех сферах человеческой деятельности большое место занимает принятие решений. Для постановки задачи принятия решения необходимо выполнить два условия: (1) чтобы было из чего выбирать; (2) вариант должен быть выбран по определенному принципу.

Очевидно, если нет хотя бы двух возможных вариантов решения, то выбирать нечего, и задача принятия решения отсутствует. Так, если предприятию задан план, устанавливающий номенклатуру и количество выпускаемой продукции, то задачи определения плана нет, так как план задан.

Известны два принципа выбора: волевой и критериальный.

Волевой выбор, наиболее часто используемый, применяют при отсутствии формализованных моделей как единственно возможный.

Критериальный выбор заключается в принятии некоторого критерия и сравнении возможных вариантов по этому критерию. Вариант, для которого принятый критерий принимает наилучшее решение называют оптимальным (от лат. optimus), а задачу принятия наилучшего решения – задачей оптимизации.

Решение не может быть оптимальным вообще, во всех смыслах, а только в одном, единственном смысле, определяемом выбранным критерием.

Критерий оптимизации называют целевой функцией, функцией цели, функционалом и др.

Любую задачу, решение которой сводится к нахождению максимума или минимума целевой функции называют задачей оптимизации.

Задачи менеджмента чаще всего связаны с нахождением условного экстремума целевой функции при известных ограничениях, накладываемых на ее переменные.

В качестве целевой функции при решении различных оптимизационных задач принимают количество или стоимость выпускаемой продукции, затраты на производство, сумму прибыли и т.п. Ограничения обычно – ресурсы: людские, материальные, денежные.

Можно показать, что оптимизационные задачи менеджмента, различные по своему содержанию и реализуемые с использованием стандартных программных продуктов, соответствуют тому или иному классу экономико-математических моделей. Классификацию некоторых основных задач оптимизации, реализуемых менеджментом на производстве, можно выполнить по признакам: функция управления; состав оптимизационных задач; класс экономико-математических моделей (табл. 1.1).

Таблица 1.1

Классификация оптимизационных задач менеджмента

Функция управления	Задачи оптимизации	Класс экономико-математических моделей
Техническая и организационная подготовка производства	– Моделирование состава изделий; – Оптимизация состава марок, шихты, смесей; – Оптимизация раскроя листового материала, проката; – Оптимизация распределения ресурсов в сетевых моделях комплексов работ; – Оптимизация планировок предприятий, производств и оборудования; – Оптимизация маршрута изготовления изделий; – Оптимизация технологий и технологических режимов.	Теория графов Дискретное (целочисленное) программирование Линейное программирование Сетевое планирование и управление Имитационное моделирование Динамическое программирование Нелинейное программирование Теория графов
Технико-экономическое планирование	– Построение сводного плана и прогнозирование показателей развития предприятия; – Оптимизация портфеля заказов и производственной программы; – Оптимизация распределения производственной программы по плановым периодам.	Балансовые (матричные) модели «затраты-выпуск» Корреляционно-регрессионный анализ Экстраполяция тенденций Линейное программирование
Оперативное управление основным производством	– Оптимизация календарно-плановых нормативов; – Календарные задачи; – Оптимизация стандарт–планов; – Оптимизация краткосрочных планов производств	Нелинейное программирование Имитационное моделирование Линейное программирование Целочисленное программирование

Другой важный признак систематизации – классификация моделей по ее элементам: исходным данным, искомым переменным, зависимостям, описывающим цель задачи (моделирования) и ограничения (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Классификация моделей по элементам

В зависимости от исходных данных выделяют три типа математического описания задач управления: детерминированные, вероятностные и задачи в условиях неопределенности.

Исходные данные, которые заданы определенными величинами, называют детерминированными.

Детерминированные задачи формулируются в условиях полной определенности о значениях используемых параметров, составе и виде влияющих ограничивающих условий. Такое описание имеет однозначность при математическом представлении и позволяет получить однозначное решение.

В детерминированной задаче всегда известно, что стратегия действий А приведет к результату “а”, а стратегия действий В к результату “в”. Остается только определить, какой результат имеет большую полезность, чтобы выбрать лучшую из двух стратегий.

Исходные данные, которые зависят от ряда случайных факторов, называют случайными величинами. Например, имеющееся наличие ресурсов зависит от своевременности их поставки, производительность оборудования – от его исправности и т.д. Вероятностные задачи, или как их еще называют стохастические задачи, включают в своей постановке задачи параметры, задаваемые в виде случайных величин, для которых известны вероятности достижения возможных значений. Такие задачи называют также задачами с риском, и их решение формулируется как конкретные результаты с вероятностной оценкой каждого из них.

Заметим, что детерминированные задачи можно рассматривать как предельный вариант задач с риском, в которых вероятность появления значений используемых параметров равна единице.

Оценки вероятностей бывают двух типов: объективные и субъективные. Объективные вероятности получаются путем определения отношения числа интересующих нас событий к общему числу наблюдаемых событий.

Задачи в условиях неопределенности возникают в ситуациях, когда нет предварительной вероятностной оценки возможных будущих ситуаций или значений параметров их характеризующих. В подобных задачах используют своеобразный подход для описания оценки предпочтительности управленческих стратегий. Оценка максиминпредполагает предпочтительность стратегии действий, у которой достигается максимально полезный результат при наиболее неблагоприятном развитии событий. Оценка минимаксориентирует на выбор стратегии, у которой наименьшие потребные расходы при наиболее неблагоприятном развитии событий.

Переменные величины могут быть непрерывными и дискретными. Непрерывные величины могут принимать в заданном интервале могут принимать любые значения (например, процентное содержание элементов в марке материала). Дискретные или целочисленные принимают только целые значения (например, нельзя ввести в эксплуатацию 1,5 здания).

Зависимости между элементами могут быть линейными и нелинейными. Линейными называют зависимости, в которые переменные входят в первой степени, и нет их произведения. Если переменные входят не первой степени или есть произведение переменных, то зависимости нелинейные.

Сочетание различных элементов модели приводит к различным классам задач оптимизации, которые требуют разных методов решения, следовательно, и разных программных средств (табл. 1.2).

Таблица 1.2

Классы задач оптимизации