ВВЕДЕНИЕ. для студентов высших учебных заведений,

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

МЕТОДЫ

и

МОДЕЛИ

Для

МЕНЕДЖМЕНТА

Рекомендовано

в качестве учебника

для студентов высших учебных заведений,

обучающихся по экономическим специальностям

Санкт–Петербург

ББК 65.05

УДК 519.8

Г 55

Математические методы и модели для менеджмента. /В.В. Глухов, М.Д. Медников, С.Б. Коробко.– СПб.: Питер, 2004.– 480 с.

Учебник состоит из трех частей: методы менеджмента, типовые модели менеджмента, прикладные модели менеджмента.

Предусмотрена отработка навыков подготовки и принятия управленческих решений с реализацией типовых задач менеджмента на компьютере. Для этой цели используется пакет прикладных программ QSB, Excel, Matlab.

Учебник предназначен для студентов, аспирантов, преподавателей экономических вузов и менеджеров.

© Глухов В.В., Медников М.Д., Коробко С.Б., 2004

© ЗАО Издательский дом «Питер», 2004

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.. 5

ЧАСТЬ I. МЕТОДЫ МЕНЕДЖМЕНТА.. 10

Глава 1. КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТОДОВ И МОДЕЛЕЙ МЕНЕДЖМЕНТА.. 11

1.1. Исторический обзор. 11

1.2. Этапы принятия решений.. 15

1.3. Классификация задач оптимизации.. 17

1.4. Классификация методов менеджмента.. 21

1.5. Контрольные задания. 23

Глава 2. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ.. 25

2.1. Постановка задачи линейного программирования. 25

2.2. Экономическая интерпретация задач линейного программирования. 27

2.3. Проверка сбалансированности планов. 31

2.4. Требования совместности условий.. 35

2.5. Графический метод решения задач линейного программирования. 37

2.6. Идея симплекс-метода.. 40

2.7. Двойственные задачи линейного программирования. 44

2.8. Устойчивость оптимизационного решения. 47

2.9. Контрольные задания. 48

Глава 3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ.. 50

3.1. Целочисленное программирование. 50

3.2. Метод ветвей и границ.. 52

3.3. Задача выбора вариантов. 55

3.4. Дискретное программирование. 57

3.5. Методы решения дискретных задач. 59

3.6. Параметрическое программирование. 61

3.7. Дробно-линейное программирование. 65

3.8. Блочное программирование. 70

3.9. Контрольные задания. 72

Глава 4. ОПТИМИЗАЦИЯ НА ГРАФАХ.. 75

4.1. Элементы теории графов. 75

4.2. Задача коммивояжера.. 76

4.3. Транспортная задача.. 78

4.4. Оптимизация сетевого графика.. 83

4.5. Задача о максимальном потоке. 88

4.6. Задача о кратчайшем пути.. 88

4.7. Контрольные задания. 89

Глава 5. КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ.. 91

5.1. Задача о назначении.. 91

5.2. Венгерский метод.. 92

5.3. Контрольные задания. 94

Глава 6. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ.. 95

6.1. Классификация и общая постановка задач нелинейного программирования. 95

6.2. Метод множителей Лагранжа.. 97

6.3. Метод кусочно-линейной аппроксимации.. 99

6.4. Контрольные задания. 102

Глава 7. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ.. 103

7.1. Постановка задач динамического программирования. 103

7.2. Обобщенная схема задачи распределения ресурсов. 105

7.3. Задачи динамического программирования. 106

7.4. Балансирование производственных мощностей и программы предприятия. 107

7.5. Задачи о правилах остановки.. 109

7.6. Контрольные вопросы.. 113

Глава 8. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ.. 115

8.1. Элементы теории вероятностей.. 115

8.2. Понятие о стохастическом программировании.. 120

8.3. Детерминированная постановка задач стохастического программирования. 123

8.4. Решение задач СТП.. 125

8.5. Контрольные задания. 128

Глава 9. ТЕОРИЯ ИГР.. 130

9.1. Управление в условиях неопределенности.. 130

9.2. Оценка риска в «играх с природой». 135

9.3. Геометрическая интерпретация игровых задач. 139

9.4. Сведение задач теории игр к задачам линейного программирования. 144

9.5. Контрольные задания. 147

Глава 10. ТЕОРИЯ ОЧЕРЕДЕЙ.. 149

10.1. Основные понятия теории очередей.. 149

10.2. Система с отказами.. 152

10.3. Система с неограниченной длиной очереди.. 155

10.4. Система с постоянным временем обслуживания. 159

10.5. Система с ограниченной длиной очереди.. 160

10.6. Система с ограниченным потоком требований.. 163

10.7. Двухфазная система.. 166

10.8. Контрольные задания. 167

СЛОВАРЬ.. 169

ЛИТЕРАТУРА.. 176

ВВЕДЕНИЕ

В первых известных письменных источниках отмечается, что математические знания на Руси были распространены уже в Х–XI веке. Они были связаны с практическими нуждами: летоисчислением, вычислением поголовья стада, определением прибыли от урожая и т. д. Одно из древних русских математических произведений – это «Учение им же ведати человеку числа всех лет», написанное новгородским монахом Кириком в 1136 г. Оно посвящено календарным расчетам и правилам определения дат церковных праздников, привязанных к движению солнца и луны.

В XVI–ХVII веках в России появляется и распространяется рукописная математическая литература, посвященная измерению земель, податному обложению, градостроительству и военному делу, торговым расчетам. В основном они предназначались для купцов, ремесленников, чиновников, землемеров и носили сугубо практических характер. Материал их распределялся по «статьям», содержащим указания, как надо поступать при решении тех или иных задач. Рукописи XVI – ХVII веков сыграли большую роль в распространении математических знаний и на их основе создавалась в последующем первая учебная литература.

Одной из основных причин, вызвавших возникновение математического анализа, в особенности дифференциального исчисления, была потребность в решении задач на экстремумы. Некоторые из типовых оптимизационных задач имели следующую постановку (примеры часто бывают поучительнее многословных объяснений).

1. По трубе, сечение которой круг с радиусом r, течет вода. Скорость течения пропорциональна так называемому гидравлическому радиусу профиля сечения (заполненного водой). При каком заполнении труды водой скорость течения (при неизменных других условиях) будет наибольшей?

2. Заготовлен материал для изгороди длиной 1 м. Необходимо этой изгородью огородить прямоугольную площадку, имеющую наибольшую площадь. Какими должны быть размеры этой площадки?

3. Из бревна цилиндрической формы, диаметр которого 2 R, необходимо изготовить балку прямоугольного сечения, имеющую наибольшую прочность. Какими должны быть размеры балки, если инженерные расчеты показывают, что прочность балки прямоугольного сечения пропорциональна ширине балки и квадрату ее высоты?

4. Какими должны быть размеры цилиндрической цистерны заданного объема V кубических метров, чтобы расход листового железа на изготовление ее был наименьшим? Стоимость хода корабля складывается из стоимости расходуемого двигателями горючего и остальных расходов. Установлено, что стоимость горючего пропорциональна третьей степени скорости хода корабля. Остальные расходы от скорости хода не зависят, и их можно считать постоянными. Необходимо определить скорость хода корабля, при которой расходы на каждый километр пройденного пути будут наименьшими.

5. Для какой крыши (двухскатной или четырехскатной) потребуется больше материала?

6. Из квадратного листа железа со стороной А мм нужно сделать открытый сверху ящик. Для этого по углам листа вырезают равные квадраты и получившейся крестовины сгибают ящик. Какие квадраты нужно вырезать по углам листа, чтобы получился ящик наибольшей вместимости?

7. Из прямоугольного листа железа, ширина которого А мм, делают желоб прямоугольного сечения. С этой целью по краям листа отгибают полосы. Какой ширины должны быть эти полосы, чтобы получился желоб с наибольшей пропускной способностью?

8. Сечение тоннеля представляет собой прямоугольник с примыкающим к нему сверху полукругом. Диаметр полукруга равен основанию прямоугольника. Периметр сечения тоннеля должен быть равен А м. Какими должны быть размеры сечения, чтобы пропускная способность тоннеля была наибольшей?

9. Из трех одинаковых досок шириной А см нужно сделать желоб, поперечное сечение которого имело бы форму трапеции. Как это сделать так, чтобы пропускная способность желоба была наибольшей?

10. Какой из всех треугольников с данным периметром 2 p имеет наибольшую площадь?

Задачи на экстремум – это поиск наиболее выгодного в определенном смысле, наиболее экономного, наименее трудоемкого, наиболее производительного. В поисках наилучшего помогает наука, причем задачи на экстремумы – одно из наиболее могучих ответвлений математического анализа. Почти для каждой задачи на экстремум приходилось изобретать подходящий прием ее решения.

Многими подобными задачами занимались выдающиеся математики XVII века: Блез Паскаль (1623–1662), Пьер Ферма (1601–1665). Их работами было подготовлено введение основных понятий математического анализа – общего метода решения оптимизационных задач. Он был разработан Исааком Ньютоном (1643–1727), Готфридом В. Лейбницем (1646–1716). В десятку наиболее выдающихся достижений математики относится разработка понятия производной. Оно стало основой общего приема решения задач на экстремумы. В 1699 г. швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667–1738) сформулировал задачу о брахистохроне (форма кривой, по которой точка скатывается в кратчайший срок), что было первой вариационной задачей.

Становление математических знаний в России связано с двумя выдающимися учеными: Л.Ф. Магницким (1669–1739) и Л. Эйлером (1707–1783). Реформы, начатые Петром I, коснулись и образования. Как писал М.В. Ломоносов, Петр I «усмотрел тогда ясно, что ни полков, ни городов надежно укрепить, ни кораблей построить и безопасно пустить в море, не употребляя математики…». Лучшим математиком Москвы в 1700 году был Л.Ф. Магницкий, которому было поручено создать учебник по математике и навигации для только что созданной Математико-навигационной школы. «Вратами учености» позже назвал «Арифметику» Магницкого, напечатанную в 1703 г. по распоряжению Петра I, М.В. Ломоносов.

Леонард Эйлер был приглашен в 1727 г. в только что созданную Петербургскую академию наук. Ему было 20 лет, но период его работы в Петербурге был отмечен значительными достижениями. Он постоянно делает научные доклады на академических конференциях, выступает с публичными лекциями по математике и физике, принимает активное участие в работе комиссии по обследованию машин и технических проектов, публикует в каждом томе «Комментариев Петербургской академии наук» по нескольку своих научных трудов. После отъезда из России в 1741 г. Эйлер поддерживал постоянную связь с Петербургской академией наук, печатался в ее изданиях, руководил молодыми русскими учеными, направляемыми на учебу за границу. «Эйлер стал добрым гением нашей Академии, определившим ее славу, ее крепость, ее продуктивность» (С.И. Вавилов – Президент Академии наук СССР). Он вернулся в Петербург в 1766 г., где продолжил свои обширные научные исследования и активную научно-организационную работу. Л. Эйлер является основателем русской научной математической школы. Ему принадлежат системное изложение математического анализа (пять томов), математические основы механики, теория кораблестроения, теория движения Луны и планет и т.д. «Творчество Эйлера изумительно и в науке беспримерно» (А.Н. Крылов).

ХХ век стал периодом становления теории оптимизационных управленческих решений в экономике и менеджменте. Из работ российских ученых в первой половине 20-го века следует выделить работы А.А. Маркова, В.В. Новожилова, Л.В. Канторовича и Л.С. Понтрягина. Работы А.А. Маркова (1856–1922) стали основополагающими для развития теории динамического программирования. В.В. Новожилов (1892–1970), опираясь на математический метод Лагранжа, сформулировал специальную область математического обоснованного выбора оптимальных проектных вариантов. С работами Л.В. Канторовича (1912–1986) связано становление современной теории оптимизационных управленческих решений. В 1939 г., решая прикладную задачу раскроя листового материала, Л.В. Канторович предложил математический метод поиска оптимального решения, получивший в последствии название «линейное программирование». Базовым положением математической теории управления стал математический метод оптимизации, разработанный Л.С. Понтрягиным. Он в теории оптимизации получил название «принцип максимума Понтрягина».

Для обозначения совокупности математических методов, применяемых в экономике и менеджменте, использовались различные наименования. Первоначально наиболее часто использовалось название экономическая кибернетика, затем исследование операций, экономико-математические методы, математические методы для менеджмента.

Современный аппарат математических методов для решения экономических и управленческих задач превратился в самостоятельную научную и прикладную области. Однако возможности вычислительной техники и созданного программного обеспечения позволяют руководителю остановиться только на математической формализации проблемы, после чего решение превращается в использование имеющихся компьютерных программ. Однако умение формализовать возникающую проблему требует особой методологии рассмотрения ситуации.

Математика имеет дело не с реальным объектом, а с его математической моделью. Математическая формализация проблемы – это 50 % успеха на пути ее решения. Трудность состоит в том, что бы избежать ненужной детализации, сохранить значимые условия и сформулировать задачу в виде одной из типовых моделей. Чтобы положиться на теорию оптимизации, необходима убежденность в полезности системного математического подхода к управлению.

Формулируя задачу, необходимо установить определяемые переменные, огранивающие ресурсы, оптимизационную оценку вариантов решения. Цель решения оптимизационной задачи является принципиальным признаком для последствий управленческих решений. Например, установление заработной платы ремонтного персонала пропорционально времени ремонтных работ приведет к тому, что оборудование будет больше ремонтироваться, чем работать.

Для того чтобы оценить последствия реализации той или иной цели, необходимо иметь хорошую модель анализируемого явления, с помощью которой можно оценить все варианты результата. Умение ставить правильную цель в управленческом решении является одним из признаков интеллекта.

В основу материала книги положен курс лекций читаемый авторами в Санкт–Петербургском государственном техническом университете. Экономико-математическая школа вуза была создана Л.В. Канторовичем и В.В. Новожиловым в начале 40-х годов. В рамках этой научной школы были разработаны оригинальные прикладные математические модели и методы профессорами Первозванским А.А., Соколицыным С.А., Глуховым В.В., Долговым П.П., Кузиным Б.И., Окороковым В.Р., которые использованы при написании данного учебника.

Материал учебника разделен на три раздела. Первый раздел посвящен математически методам, применяемым в менеджменте, второй – типовым моделям менеджмента, третий – прикладным математическим моделям из наиболее крупных областей промышленности. Изучение материала предполагает наличие знаний у читателя по высшей математике и теории вероятностей в объеме соответствующих вузовских курсов для экономических специальностей. При изложении используется множество примеров, что позволяет быстрее освоить методы решения оптимизационных задач. Эти примеры образуют единое целое с основным текстом. Они либо иллюстрируют существо излагаемого материала, либо указывают на возможности его обобщения. В учебнике рассматриваются математические модели и методы решения управленческих задач, ориентированные на оптимизацию выбираемого варианта.

Книга предназначена для студентов экономических специальностей, изучающих математические методы решения экономических и управленческих задач, для специалистов, интересующихся оптимизационным аппаратом выработки управленческих решений.

В жизни бывает так, что человек, владеющий разными инструментами (по своей профессии) и применяющий их в зависимости от характера выполняемой работы, добивается лучших результатов, чем человек, владеющий лишь универсальным приемом. В одних случаях можно выполнить вычисления устно, в других – необходим лист бумаги для расчетов, в–третьих – расчет на компьютере, в–четвертых – привлечение специальной программы оптимизационных расчетов. Нужно знать и уметь пользоваться универсальными и частными приемами, которые ведут к цели быстрее и легче.

ЧАСТЬ I. МЕТОДЫ МЕНЕДЖМЕНТА

“Математика имеет хороший инструмент.

Экономика обладает хорошим материалом.

Экономико-математические методы – это

совмещение хорошего инструмента

с хорошим исходным материалом”

Генрих Герц

Глава 1.

КЛАССИФИКАЦИЯ

МЕТОДОВ И МОДЕЛЕЙ МЕНЕДЖМЕНТА

Глава 2.

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Глава 3.

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Глава 4.

ОПТИМИЗАЦИЯ НА ГРАФАХ

Глава 5.

КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ

Глава 6.

НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Глава 7.

ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Глава 8.

СТОХАСТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Глава 9.

ТЕОРИЯ ИГР

Глава 10.

ТЕОРИЯ ОЧЕРЕДЕЙ

Глава 11.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ QSB

В ПРОЦЕССЕ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ