Биномиальное распределение дискретной случайной величины

Пусть проводятся n независимых испытаний, в каждом из которых может произойти событие A с вероятностью p, либо с вероятностью 1-p=q. Рассмотрим случайную величину X – числонаступлений события A в n независимых испытаниях.

Дискретная случайная величина, принимающая только неотрицательные целые значения с вероятностью , где , называется распределённой по биномиальному закону.

Составим ряд распределения случайной величины Х, имеющей биномиальное распределение.

				…	k	…	N
				…		…

Математическое ожидание биномиального распределенияравно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании:

.

Дисперсия биномиального распределенияравна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

.

Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины распределённой по биномиальному закону равно

.

Пример 3. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х – числа таких бросаний пяти игральных костей, в каждом из которых на двух костях появится по одному очку, если общее число бросаний равно 20.

Решение. Воспользуемся формулой , где n – общее число испытаний (бросаний пяти костей); X – число появлений интересующего нас события (на двух костях из пяти появится по одному очку) в n испытаниях; P – вероятность появления рассматриваемого события в одном испытании.

По условию, n=20. Остаётся найти P – вероятность того, что на гранях двух их пяти костей появится по одному очку. Эту вероятность вычислим по формуле Бернулли, учитывая, что вероятность появления одного очка на грани одной кости p= и, следовательно, вероятность непоявления q=1- = :

.

Тогда искомое математическое ожидание

.