Сумма и произведение двух независимых случайных величин

20_Чебыш_1. Дисперсия каждой из 3000 независимых случайных величин не превышает числа 6. Оценить вероятность того, что отклонение среднего арифметического этих случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий меньше 0,3.

20_Чебыш_2. Суточный расход воды в населенном пункте является слу­чайной величиной, среднеквадратическое отклонение которой рав­но 10 000 л. Оценить с помощью неравенства Чебышёва вероятность того, что расход воды в этом пункте в течение суток отклонится от математического ожидания не менее, чем на 25 000 л (по абсолютной величине).

20_Чебыш_3. Вероятность наступления некоторого события А в каждом испытании равна 0,3. Оценить с помощью неравенства Чебышёва вероятность того, что относительная частота события отклонится от его вероятности менее, чем на 0,01 (по абсолютной величине), если предполагается произвести 9000 испытаний.

20_Чебыш_4. Дисперсия каждой из 2000 независимых случайных величин не превышает числа 5. Оценить вероятность того, что абсолютная величи­на отклонения среднего арифметического этих случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий меньше 0.4.

20_Чебыш_5. Среднеквадратическое отклонение ошибки измерения курса самолета = 2º. Считая математическое ожидание ошибки измерения равным нулю, оценить вероятность того, что ошибка при данном изме­рении курса будет не менее 5°.

20_Чебыш_6. Вероятность появления события А при одном опыте равна 0,3. Оценить с помощью неравенства Чебышёва вероятность того, относительная частота этого события при 100 опытах будет лежать в пределах 0.2-0.4.

20_Чебыш_7. Дисперсия каждой из 4000 независимых случайных величин не больше 5. С помощью неравенства Чебышёва оценить вероятность того, что среднее арифметическое этих случайных величин отклонится от среднего арифметического их математических ожиданий менее, чем на 0,04.

20_Чебыш_8. Вероятность наступления события в каждом испытании равна 0,3. Применяя неравенство Чебышёва, найти число испытаний, необхо­димых для того, чтобы вероятность отклонения относительной частоты события от его вероятности по абсолютной величине меньше, чем на 0,01, была бы не меньше 0,99.

20_Чебыш_9. Длина изготавливаемых изделий представляет случайную величину, среднее значение которой равно 30 см. Дисперсия этой величины равна 0,0225. Применяя неравенство Чебышёва, оценить вероятность того, что отклонение длины изготавливаемого изделия от ее среднего значения по абсо­лютной величине менее 0,5 см.

20_Чебыш_10. Вероятность вызревания кукурузного стебля с тремя почат­ками 0,75. Оценить с помощью неравенства Чебышёва вероятность то­го, что среди 3000 стеблей доля (относительная частота) с тремя початками будет по абсолют­ной величине отличаться от вероятности вызревания стебля менее, чем на 0.02.

20_Чебыш_11. Дисперсия каждой из попарно независимых случайных величин не превышает 10. Требуется оценить вероятность того, что отклонение среднего арифметического 1600 этих величин от среднего арифметического их математических ожиданий меньше 0,25.

20_Чебыш_12. В урне 100 белых и 100 черных шаров. Вынули (с возвращени­ем) 50 шаров. Оценить с помощью неравенства Чебышёва вероятность того, что количество белых шаров из числа вынутых удовлетворяет не­равенст-ву

20_Чебыш_13. Пусть вероятность того, что выпущенный экземпляр часов имеет точность хода в пределах стандарта, равна 0,97. Применяя неравенство Чебышёва, оценить ве­роятность того, что среди имеющихся 1000 часов относительная частота стандартных часов отклонится (по абсолютной величине) от ве­роятности 0,97 менее, чем на 0,02.

20_Чебыш_14. Длина изготовляемых стержней представляет случайную вели­чину, среднее значение которой равно 90 см. Дисперсия этой величи­ны равна 0,0225. Применяя неравенство Чебышёва, оценить вероятность того, что длина стержня выразится числом, заключенным между 89,7 см и 90,3 см.

20_Чебыш_15. Среднеквадратичное отклонение каждой из 2134 независимых случайных величин не превосходит 4. Оценить вероятность того, что абсолютная величина отклонения среднего арифметического этих случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий менее 0,5.

20_Чебыш_16. Вероятность появления события А в одном опыте равна 0,5. Применяя неравенство Чебышёва, выяснить, можно ли с вероятностью, большей 0,97, утверждать, что число появле­ний события А в 1000 независимых опытах будет в пределах от 400 до 600?

20_Чебыш_17. Случайная величина имеет математическое ожидание, равное 1, и среднеквадратическое отклонение, равное 0,2. С помощью неравен­ства Чебышёва оценить вероятность неравенства

20_Чебыш_18. Принимая для упрощения расчетов вероятность рождения мальчика равной 0.5, оценить с помощью неравенства Чебышёва вероятность то­го, что среди 1200 новорожденных детей мальчиков будет от 550 до 650.

20_Чебыш_19. Математическое ожидание скорости ветра на данной высоте равно 25 км/ч, а среднеквадратичное отклонение - 4,5 км/ч. Применяя неравенство Чебышёва, найти, какие ско­рости ветра можно ожидать с вероятностью, не меньшей 0,9?

20_Чебыш_20. Вероятность наступления некоторого события в каждом из 1000 испытаний равна 0,3. Оценить с помощью неравенства Чебышёва веро­ятность того, что отклонение числа наступлений этого события от математического ожидания будет по абсолютной величине меньше 50.

20_Чебыш_21. Суточная потребность в электроэнергии в населенном пункте явля­ется случайной величиной, математическое ожидание которой равно 20 000 квт-час, а дисперсия составляет 2 000 (квт-час)². Применяя неравенство Чебышёва, оценить вероятность того, что в ближайший день расход электроэнергии в этом населенном пункте будет от 19 600 до 20 400 квт-час.

20_Чебыш_22. Дисперсия каждой из 5000 независимых случайных величин не пре­восходит числа 20. Применяя неравенство Чебышёва, оценить вероятность того, что отклонение среднего арифметического этих величин от среднего арифметического их мате­матических ожиданий менее 0.2.

20_Чебыш_23. Шестигранная кость бросается 10 000 раз. Применяя неравенство Чебышёва, оценить вероятность того, что относительная частота появления шести очков отклоняется от вероятности появления этого события меньше, чем на 0,01.

20_Чебыш_24. Известно, что дисперсия каждой из данных независимых случайных величин не превышает 4. Применяя неравенство Чебышёва, найти такое число этих величин, при котором вероятность отклонения их средней арифметической от средней ариф­метической их математических ожиданий менее, чем на 0.25, превы­сит 0.99.

20_Чебыш_25. Вероятность некоторого события А в каждом из независимых испытаний равна 1/3. Используя неравенство Чебышёва, найти наименьшее число испытаний, при котором с вероятностью, не меньшей 0,99, относительная частота события А отклонилась бы по абсолютной величине от его вероятности меньше, чем на 0,01.

20_Чебыш_26. Вероятность некоторого события А в каждом из 12100 независи­мых испытаний равна 1/3. Применяя неравенство Чебышёва, найти границу абсолютной величины отклоне­ния частоты события А от его вероятности, которую можно ожидать с вероятностью, не меньшей 0,99.

20_Чебыш_27. Дисперсия каждой из попарно независимых случайных величин не превышает 10. Применяя неравенство Чебышёва, оценить вероятность того, что отклонение среднего арифметического 16000 этих величин от среднего арифметического их математических ожиданий меньше 0,25.

20_Чебыш_28. При контрольной проверке изготовляемых приборов было установле­но, что в среднем 20 штук из 100 изготовленных оказываются с теми или иными дефектами. Применяя неравенство Чебышёва, оценить вероятность того, что среди 300 изготовленных приборов количество приборов с дефектами будет по абсолютной величине отличаться от его математического ожидания меньше, чем на 0,15.

20_Чебыш_29. В осветительную сеть параллельно включено 20 ламп. Вероятность того, что в течение времени Т лампа будет включена, равна 0,8. Пользуясь не­равенством Чебышёва, оценить вероятность того, что абсолютная величи­на разности между числом включенных ламп и средним числом (математи­ческим ожиданием) включенных ламп в течение времени Т окажется: а) меньше трех; б) не менее трех.

20_Чебыш_30. Оценить с помощью неравенства Чебышёва вероятность того, что в партии из 10000 подшипников отклонение относительной частоты бракованных подшип­ников от вероятности 0,01 подшипнику быть бракованным не меньше, чем 0,003.

[1] См. сноску 1

[2] Задачи этого раздела, несколько переработанные автором, взяты из пособия [7].