Гипотезы о средних значениях

1) Гипотеза о равенстве средней константе Н 0: = А.

Статистика критерия в данном случае имеет вид:

S (х)= (*)

Для больших выборок (n≥30) S(х) имеет распределение, близкое к стандартному нормальному (с математическим ожиданием равным 0 и средним квадратическим отклонением равным 1). Данное утверждение справедливо для любых распределений генеральной совокупности.

Для малых выборок (n<30) S(х) имеет распределение Стьюдента с k=n-1 числом степеней свободы.

Рассмотрим, как проверяют гипотезу о равенстве средней константе при разных способах задания критической области (альтернативной гипотезы).

1. Если альтернативная гипотеза Н 1: ¹ А. Тогда имеем двустороннюю критическую область (ее образуют значения S (х), для которых выполняется неравенство ½ S (х)½> S _кр). Критическую точку S _кр часто обозначают t _кр, а находят ее по таблицам интеграла от функции плотности стандартного нормального распределения:

Гипотеза Н 0 не отклоняется, если ½ S _набл½<S_кр и наоборот.

2. Если альтернативная гипотеза: Н 1: > А, то критическая область должна строиться как правосторонняя: S (х)> S _кр, где S_кр удовлетворяет условию:

Гипотеза Н 0 отклоняется, если S _набл>S_кр, и не отклоняется, если S _набл<S_кр.

3. Если альтернативная гипотеза Н 1: < А, то критическая область строится как левосторонняя: S (х)<- S _кр,, где S_кр удовлетворяет условию:

Гипотеза Н 0 не отклоняется, если S _набл>-S_кр.

2) Гипотеза о равенстве 2-ух генеральных средних Н 0:: , где – средние значения переменной х в различных генеральных совокупностях.

Если выборка большая, то статистикой критерия будет вычисляться по формуле: .

Где - выборочные средние; – выборочное дисперсии переменной х в 1-ой и 2-ой выборке соответственно.

Данная статистика имеет стандартное нормальное распределение.

Если выборка малая, то статистикой критерия будет вычисляться по формуле: .

Где - выборочные средние; – выборочное дисперсии переменной х в 1-ой и 2-ой выборке соответственно.

Данная статистика имеет распределение Стьюдента с k=n1+n2-2 числом степеней свободы.

Если альтернативная гипотеза имеет вид Н 1: , то критическая область строится как двусторонняя:½ S (х)½> S _кр. Если Н 1: или , то критическая область строится как право- или левосторонняя: S (х)> S _кр или S (х)< S _кр.

При построении критериев для проверки гипотез о средних по существу использовалось лишь то обстоятельство, что выборочные средние являются нормально распределенными несмещенными оценками генеральных средних. Поэтому полученные результаты могут быть непосредственно перенесены на все случаи, когда требуется проверить гипотезу о значениях параметра q генеральной совокупности, если по выборке может быть получена нормально распределенная несмещенная оценка этого параметра q^*. Так, для проверки гипотезы вида Н0: q=А может быть использована статистика: S=(q^*-А)/ s[q^*], где s[q^*] – средняя квадратическая ошибка оценки q^*. Для проверки гипотезы Н0: q₁=q₂ о параметрах различных генеральных совокупностей по независимым выборкам может быть использована статистика: .

Аналогично можно проверить гипотезы о равенстве доли альтернативного признака константе: w=A и равенстве двух долей: w₁=w₂.

Контрольные вопросы.

1. Дайте понятие статистической гипотезы. Опишите виды статистических гипотез.

2. В чем состоит правило проверки статистической гипотезы.

3. Какие ошибки допускают при проверке статистических. Что такое уровень значимости и мощность критерия.

4. Опишите порядок проверки гипотезы о равенстве средней константе.

5. Опишите порядок проверки гипотезы о равенстве генеральных средних.