Тема 6. Выравнивание вариационных рядов

(построение теоретических распределений)

Одна из важнейших задач анализа вариационных рядов заключается в выявлении закономерности распределения и определении ее характера. Основной путь в выявлении закономерности распределения – построение вариационных рядов для достаточно больших совокупностей. Большое значение для выявления закономерностей распределения имеет правильное построение самого вариационного ряда: выбор числа групп и размера интервала варьирующего признака.

Когда мы говорим о характере, типе закономерности распределения, то имеем в виду отражение в нем общих условий, определяющих вариацию. При этом речь всегда идет о распределениях качественно однородных явлений. Общие условия, определяющие тип закономерности распределения, познаются анализом сущности явления, тех его свойств, которые определяют вариацию изучаемого признака. Следовательно, должна быть выдвинута какая-то научная гипотеза, обосновывающая определенный тип теоретической кривой распределения.

Под теоретической кривой распределения понимается графическое изображение ряда в виде непрерывной линии изменения частот в вариационном ряду, функционально связанного с изменением вариантов (значений признака). Теоретическое распределение может быть выражено аналитически – формулой, которая связывает частоты вариационного ряда и соответствующие значения признака. Такие алгебраические формулы носят название законов распределения.

Из многих форм кривых распределения, по которым может выравниваться вариационный ряд, есть необходимость ознакомиться с двумя: нормальным распределением и распределением Пуассона.

График нормального распределения имеет форму колоколообразной кривой, симметричной относительно , концы которой асимптотически приближаются к оси абсцисс. Она имеет точки перегиба, абсциссы которых находятся на расстоянии s от центра симметрии. Эта кривая выражается уравнением:

где у – ордината кривой нормального распределения;

- нормированные отклонения.

-2s -s +s +2s

Рис.6.1. Кривая нормального распределения

При выравнивании вариационного ряда по кривой нормального распределения теоретические частоты ряда определяются по формуле

где N= åf – сумма всех частот вариационного ряда;

h – величина интервала в группах (классах);

s - среднее квадратическое отклонение;

- нормированное отклонение вариантов от средней арифметической.

Значение ординат кривой нормального распределения будет соответствовать величине , которая табулирована и определяется по таблицам значений данной функции j (t).

Как видно из формулы, основными параметрами кривой нормального распределения являются и s. По этим характеристикам ее и можно построить.

Распределение Пуассона. В целом ряде случаев, если вариационный ряд представляет собой распределение по дискретному признаку, где по мере увеличения значений признака х частоты резко уменьшаются и где средняя арифметическая ряда равна или близка по значению к дисперсии, т.е. =s², то такой ряд можно выровнять по кривой Пуассона, аналитическое выражение которой

Где Р_х – вероятность наступления отдельных значений х;

– средняя арифметическая ряда.

	Рх

Х

Рис. 6.2. Кривая Пуассона.

Теоретические частоты при выравнивании эмпирических данных определяются по формуле

,

где f ^’ - теоретические частоты;

N – общее число единиц ряда.

Гипотезы о распределениях заключаются в том, что выдвигается предположение о том, что распределение в генеральной совокупности подчиняется какому-то определенному закону. Проверка гипотезы состоит в том, чтобы на основании сравнения фактических (эмпирических) частот с предполагаемыми (теоретическими) частотами сделать вывод о соответствии фактического распределения гипотетическому распределению. Может проводиться и сравнение частостей.

Под гипотетическим распределением необязательно понимается нормальное распределение. Может быть выдвинута гипотеза о биноминальном распределении, распределении Пуассона и т.д. Причина частого обращения к нормальному распределению в том, что в этом типе распределения выражается закономерность, возникающая при взаимодействии множества случайных причин, когда ни одна из них не имеет преобладающего влияния. Закон нормального распределения лежит в основе многих теорем математической статистики, применяемых для оценки репрезентативности выборок, при измерении связей и т.д. В социально-экономической статистике нормальное распределение встречается редко, но сравнение с ним важно для выяснения степени и характера отклонения от него фактического распределения.

Можно отметить, что близость средней арифметической величины, медианы и моды указывает на вероятное соответствие изучаемого распределения нормальному закону. Но более полная и точная проверка соответствия распределения гипотезе о нормальном или другом законе распределения производится с использованием специальных критериев согласия.