Тема 4: Статистические величины

Понятие абсолютной и относительной

величины в статистике.

Изучая массовые общественные явления, статистика в своих выводах опирается на числовые данные, полученные в конкретных условиях места и времени. Результаты статистического наблюдения регистрируются прежде всего в форме первичных абсолютных величин.

В статистике все абсолютные величины являются именованными, измеряются в конкретных единицах (человеках, рублях, штуках, киловатт-часах, человеко-днях и человеко-часах и т.д.) и, в отличие от математического понятия абсолютной величины, могут быть как положительными, так и отрицательными (убытки, убыль, потери и т.п.)

С точки зрения конкретного исследования совокупность абсолютных величин можно рассматривать как состоящую из показателей индивидуальных, характеризующих размер признака у отдельных единиц совокупности, и суммарных, характеризующих итоговое значение признака по определенной части совокупности. Так, если индивидуальными будут показатели численности работающих на отдельных предприятиях, то суммарными – численности работающих по группам, объединениям предприятий. С точки зрения отдельного предприятия численность занятых на нем будет суммарной величиной, а численности работающих в каждом цехе – величинами индивидуальными.

Суммарные абсолютные величины часто получают путем специальных расчетов (перспективная численность населения, ожидаемый объем производства, плановые задания по выпуску продукции и т.д.)

Поскольку абсолютные показатели – это основа всех форм учета и приемов количественного анализа, то следует разграничивать моментные и интервальные абсолютные величины. Первые показывают фактическое наличие или уровень явления на определенный момент, дату (например, наличие запасов материалов или оборотных средств, величина незавершенного производства, численность проживающих и т.д.). Вторые – итоговый накопленный результат за период в целом (объем произведенной продукции за месяц или год, прирост населения за определенный период, величина валового сбора зерна за год и за пятилетку и т.д.)

В отличие от моментных интервальные абсолютные величины допускают их последующее суммирование (естественно, если речь идет об одном и том же показателе).

По своему содержанию абсолютные величины могут характеризовать как относительно простые совокупности – численность населения, предприятий, количество товара определенного вида, так и совокупности достаточно сложные – стоимость всей продукции предприятия или отрасли промышленности, объем розничного товарооборота, величину валового национального продукта, национального дохода и т.д.

Сама по себе абсолютная величина не дает полного представления об изучаемом явлении, не показывает его структуру, соотношение между отдельными частями, развитие во времени. В ней не выявлены соотношения с другими абсолютными показателями. Эти функции выполняют определяемые на основе абсолютных величин относительные показатели.

В каждой конкретной области приложения статистики разрабатывается своя система статистических показателей.

Относительная величина в статистике – это обобщающий показатель, который дает числовую меру соотношения двух сопоставляемых абсолютных величин.

Так как многие абсолютные величины взаимосвязаны, то и относительные величины одного типа в ряде случаев могут определяться через относительные величины другого типа.

Основное условие правильного расчета относительной величины – сопоставимость сравниваемых показателей и наличие реальных связей между изучаемыми явлениями. Таким образом, по способу получения относительные показатели – всегда величины произвольные, определяемые в форме коэффициентов, процентов, промилле и т.д.

Однако нужно помнить, что этим безразмерным по форме показателям может быть, в сущности, приписана конкретная, и иногда довольно сложная, единица измерения. Так, например, относительные показатели естественного движения населения, такие как коэффициенты рождаемости или смертности, исчисляемые в промилле (‰), показывают число родившихся или умерших за год в расчете на 1000 человек среднегодовой численности; относительная величина эффективности использования рабочего времени – это количество продукции в расчете на один отработанный человеко-час и т.д.

Виды и взаимосвязи относительных величин.

Относительные величины образуют систему взаимосвязанных статистических показателей. По содержанию выражаемых количественных соотношений выделяют следующие типы относительных величин.

1. Относительная величина динамики. Характеризует изменение уровня развития какого-либо явления во времени. Получается в результате деления уровня признака в определенный период или момент времени на уровень этого же показателя в предшествующий период или момент.

Так, по данным топливно-энергетического баланса страны, ресурсы 1990г. оценивались в 2171,1 млн. т у.т. (условного топлива), а в 1997 г. – в 2629,1 млн. т у.т. Относительная величина динамики составила: i = 2629,1 / 2171,1 = 1,211.

Таким образом, объем топливно-энергетических ресурсов вырос за 7 лет в 1,211 раза (коэффициент роста, индекс роста, индекс). В процентном выражении это 121,1 % (темп роста).

Иначе говоря, за 7 лет объем ресурсов увеличился на 21,1 % (темп прироста). В среднем каждый год объем ресурсов возрастал по сравнению с предыдущим годом в раза, или на 2,77 % (среднегодовой коэффициент или индекс роста и среднегодовой темп роста).

2. Относительная величина планового задания. Рассчитывается как отношение уровня, запланированного на предстоящий период, к уровню, фактически сложившемуся в предшествующем периоде.

Относительная величина планового задания также может быть представлена в трех формах: коэффициента (индекса) планового роста, плановых темпов роста либо прироста (в %).

Так, по плану на 1998 г. предполагалось увеличить производство стиральных машин на 12.5 % (плановый темп прироста), т.е. в 1,125 раза (плановый коэффициент роста), или выйти на 112,5 % по сравнению с 1997 г. (плановый темп роста).

3. Относительная величина выполнения задания. Рассчитывается как отношение фактически достигнутого в данном периоде уровня к запланированному.

Так, в 1995 г. было произведено стиральных машин 6103 тыс. шт. при плане 6481 тыс. шт. Относительная величина выполнения плана составила

i_вып.пл. = 6103 / 6481 = 0,942, или 94,2 %.

Следовательно, плановое задание было недовыполнено на 5,8 %

На практике различают две разновидности относительных показателей выполнения плана. В первом случае сравниваются фактические и плановые уровни (рассмотрены выше). Во втором случае в плановом задании устанавливается абсолютная величина прироста или снижения показателя и соответственно проверяется степень выполнения плана по этой величине.

Так, если планировалось снизить себестоимость единицы продукции на 24,2 руб., а фактическое снижение составило 27,5 руб., то плановое задание по снижению себестоимости выполнено в ростом в 27,5 / 24,2 = 1,136 раза, т.е. план перевыполнен на 13,6 %.

Показатель выполнения плана по уровню себестоимости в данном случае будет меньше единицы. Если фактическая себестоимость изделия равнялась 805,8 руб. при плановой 809,1 руб., то величина выполнения плана составила 805,8 / 809,1 = 0,996, или 99,6 %. Фактический уровень затрат на одно изделие оказался на 0,4 % ниже планового.

Относительные величины динамики, планового задания и выполнения плана связаны соотношением:

i = i_пл,з. * i_вып.пл.

4. Относительные величины структуры. Характеризуют доли, удельные веса составных элементов в общем итоге. Как правило, их получают в форме процентного содержания:

,

или d = .

Для аналитических расчетов предпочтительнее использовать коэффициентное представление, без умножения на 100.

Совокупность относительных величин структуры показывает строение изучаемого явления.

Рассмотрим, например, структуру формирования и распределения топливно-энергетических ресурсов (ТЭР) в форме топливно-энергетического баланса (ТЭБ) (табл. 1,2)

Таб. 1. Источники образования ТЭР

Источник образования	1990 г.	1997 г.
Млн. т. у.т.	%	Млн. т. у.т.	%
1. Добыча топлива	1895,6	87,31	2230,1	84,82
2. Электроэнергия ГЭС	60,1	2,77	71,3	2,71
3. Импорт	17,8	0,82	33,0	1,26
4. Прочие поступления	28,2	1,30	64,9	2,47
5. Остаток на начало года	169,4	7,80	229,8	8,74
Итого	2171,1	100,0	2629,1	100,0

Из таблицы 1 видно, что основная часть ресурсов формируется за счет добычи топлива. Примерно 8 – 9 % годовых ресурсов имелось на начало года в виде запасов.

Таб. 2. Распределение ТЭР

Направление использования	1990 г.	1997 г.
Млн. т. у.т.	%	Млн. т. у.т.	%
1. Преобразование в другие виды энергии	788,9	36,34	279,8	37,27
2. Производственно-технологические и прочие нужды	884,4	40,73	989,0	37,62
3. Экспорт	327,8	15,10	418,3	15,91
5. Остаток на конец года	170,0	7,83	242,0	9,20
Итого	2171,1	100,0	2629,1	100,0

Данные табл. 2 показывают увеличение доли ресурсов, потребляемых внутри страны для преобразования в другие виды энергии (электрическую, тепловую и т.д.), снижение доли ресурсов, идущих на производственные нужды, некоторый рост доли экспорта и запасов на конец года.

Изменение во времени относительных величин структуры может быть отражено в показателях динамики:

,где

d₁ – доля части совокупности в данном (отчетном) периоде;

d₀ – доля этой же части в предшествующем (базисном) периоде.

Показатели динамики относительных величин структуры (i_d) связаны с показателями динамики соответствующих абсолютных величин соотношением: или ,

где i_d- относительная величина динамики доли (индекс доли) данной части совокупности;

i – относительная величина динамики (индекс динамики) абсолютного размера данной части;

I – относительная величина динамики (индекс динамики) общего итога абсолютной величины.

(Действительно, )

Относительные величины структуры и динамики используются для анализа абсолютного прироста отдельных частей совокупности. Общее изменение отдельной структурой части складывается из прироста, объясняемого общим увеличением или уменьшением всей совокупности, и прироста, обусловленного изменением удельного веса данной части.

Формулы распределения прироста выглядят таким образом:

а) прирост данной части совокупности, объясняемый общей динамикой итога: ;

б) прирост, объясняемый изменением удельного веса данной части. Можно применить любую из формул: ;

Здесь Y₀, Y₁ – абсолютные величины рассматриваемой части совокупности в базисном и отчетном периодах соответственно;

- абсолютная величина совокупности в отчетном периоде.

Таб. 3. Анализ распределения ТЭР за 1990 –1997 гг., млн. т. у.т.

Направление использования	Всего	Прирост
1990 г.	1997 г.	Всего	В том числе за счет
Общего роста ТЭР	Изменения стр - ры расходной части ТЭБ
1. Преобразование в другие виды энергии	788,9	979,8	190,9	166,4	+24,5
2. Производственно-технологические и прочие нужды	884,4	989,0	104,6	186,5	-81,9
3. Экспорт	327,8	418,3	90,5	69,2	+21,3
5. Остаток на конец года	170,0	242,1	72,0	35,9	+36,1
Итого	2171,1	2629,1	458,0	458,0	0,0

В таблице 3 приведен итог анализа распределительной части ТЭБ за 1990 – 1997 гг. Индекс динамики общего объема распределяемых ТЭР составил 1,211; объем ресурсов, направляемых на преобразование, вырос, в частности, в 1,242 раза.

При общем абсолютном возрастании этой части на 190,9 млн. т. у.т. увеличение за счет общего роста ТЭР составило только ∆₁ = 788,9 (1,211- 1) = 166,4 млн. т. у.т.; остальной прирост объясняется изменением удельного веса данной части:

∆₂ = 788,9 (1,242 – 1,211) = 24,5 млн. т. у.т.

или ∆₂ = (0,3727 – 0,3634) 2629,1 = 24,5 млн. т. у.т.

Из таблицы 3 видно, что ресурсы, сэкономленные за счет сокращения удельного веса части, направляемой на производственно-технологические нужды, были полностью использованы на увеличение остатка, переработку в другие виды энергии и на экспорт.

Из соотношений относительных величин структуры и динамики можно сделать вывод: если индекс динамики отдельной части совокупности превышает индекс динамики общего итога, то доля этой части увеличивается, и наоборот.

5. Относительные величины координации (ОВК). Характеризуют отношение частей данной совокупности к одной их них, принятой за базу сравнения. ОВК показывают, во сколько раз одна часть совокупности больше другой либо сколько единиц одной части приходится на 1, 10, 100, 1000, … единиц другой части. Относительные величины координации могут рассчитываться и по абсолютным показателям, и по показателям структуры.

Так, приняв за базу сравнения поставки топливных ресурсов на экспорт в 1997 г., увидим, что на каждую условную тонну экспортных поставок приходится в 2,342 раза больше ресурсов, потребляемых внутри страны для производства энергии, и в 2,363 раза больше ресурсов, предназначенных для производственно-технологических целей. Уровень остатков на конец года составляет 57,8 % по сравнению с годовыми поставками на экспорт (9,20 / 15,91 = 242 / 418,3 = 0,578).

По относительным величинам координации можно восстановить исходные относительные показатели структуры, если вычислить отношение относительной величины координации данной части (ОВК_j) к сумме всех ОВК (включая ту, которая принята за базу сравнения):

ОВК_j / = (Y_i /Y_с): å(Y_i /Y_с) = d_j.

Например, доля экспортных поставок составляет

1: (2,342 + 2,364 + 1 + 0,578) = 0,1591, или 15,9 %.

6. Относительные величины сравнения (ОВС). Характеризуют сравнительные размеры одноименных абсолютных величин, относящихся к одному и тому же периоду либо моменту времени, но к различным объектам или территориям.

Посредством этих показателей сопоставляются мощности различных видов оборудования, производительность труда отдельных рабочих, производство продукции данного вида разными предприятиями, районами, странами. Например, по производству нефти и газа в 1985 г. СССР превосходил США: по нефти – в 1,36 раза, по газу – в 1,24 раза. Уровень производства электроэнергии (млрд. кВТ*ч) в СССР составлял от уровня США 1544: 2650 = 0583, или 58,3 %.

При известных коэффициентах роста (индексах динамики) и начальном соотношении уровней можно найти условие равенства уровней в предстоящем периоде t:

.

Отсюда ОВС_А/Б = Y_А / Y_Б = (i_Б / i_А)^t,

т.е. t = .

Найденное значение t показывает, через какой период времени уровень изучаемого явления на объекте А сравнивается с уровнем того же явления на объекте Б.

В частности, при среднегодовых темпах прироста производства электроэнергии в США 4,5 % и в СССР 6,9 % (по данным за 1961 – 1985 гг.)

t = года.

Сопоставляя показатели динамики разных явлений, получают еще один вид относительных величин сравнения – коэффициенты опережения (отставания) по темпам роста или прироста. Так если производительность труда на предприятии возросла на 12 %, а фонд оплаты труда увеличился на 7.5 %, то коэффициент опережения производительности труда по темпам роста составит 112: 107,5 = 1,042; коэффициент опережения по темпам прироста равен 12: 7,5 = 1,60

7. Относительные величины интенсивности. Характеризуют степень распределения или развития данного явления в той или иной среде. Представляют собой отношение абсолютного уровня одного показателя, свойственного изучаемой среде, к другому абсолютному показателю, также присущему данной среде и, как правило, являющемуся для первого показателя факторным признаком.

Так, при изучении демографических процессов рассчитываются показатели рождаемости, смертности, естественного прироста и т.д. как отношение числа родившихся (умерших) или величины прироста населения за год к среднегодовой численности населения данной территории в расчете на 1 000 чел. Если получаемые значения очень малы, то делают расчет на 10 000 человек. Так, по состоянию на 1989 г. имеем в целом по стране К_рожд. = 19,8 ‰, К_{ест.прироста} = 9,9‰. В том числе по г. Новосибирску К_рожд. = 15,2 ‰, К_см = 9,1 ‰, К_{брачности} = 10,9 ‰, К_разв = 5,2 ‰ и т.д.

Относительными величинами интенсивности выступают, например, показатели выработки продукции в единицу рабочего времени, затрат на единицу продукции, трудоемкости, эффективности использования производственных фондов и т.д., поскольку их получают сопоставлением разноименных величин, относящихся к одному и тому же явлению и одинаковому периоду или моменту времени. Метод расчета относительных величин интенсивности применяется при определении средних уровней (среднего уровня выработки, средних затрат труда, средней себестоимости изделий, средней цены и т.д.) Поэтому распространено мнение, что относительные величины интенсивности – это один из способов выражения средних величин.

Средние величины.

Общие принципы их применения.

Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.

Средняя всегда обобщает количественную вариацию признака, т.е. в средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами. В отличие от средней абсолютная величина, характеризующая уровень признака отдельной единицы совокупности, не позволяет сравнивать значения признака у единиц, относящихся к разным совокупностям.

Так, если нужно сопоставить уровни оплаты труда работников на двух предприятиях, то нельзя сравнить по данному признаку двух работников разных предприятий. Оплата труда выбранных для сравнения работников может быть не типичной для этих предприятий. Если же сравнивать размеры фондов оплаты труда на рассматриваемых предприятиях, то не учитывается численность работающих и, следовательно, нельзя определить, где уровень оплаты труда выше. В конечном итоге сравнить можно лишь средние показатели, т.е. сколько в среднем получает один работник на каждом предприятии. Таким образом, возникает необходимость расчета средней величины как обобщающей характеристики совокупности.

Остановимся на некоторых общих принципах применения средних величин:

1) При определении средней величины в каждом конкретном случае нужно исходить из качественного содержания осредняемого признака, учитывать взаимосвязь изучаемых признаков, а также имеющиеся для расчета данные.

2) Средняя величина должна прежде всего рассчитываться по однородной совокупности. Качественно однородные совокупности позволяет получить метод группировок, который всегда предполагает расчет системы обобщающих показателей.

3) Общие средние должны подкрепляться групповыми средними.

Например, допустим, что анализ динамики урожайности отдельной сельскохозяйственной культуры показывает, что общая по области средняя урожайность снижается. Однако известно, что урожайность этой культуры зависит от почвенных, климатических и других условий и различна в отдельных районах. Сгруппировав районы по признакам различия и проанализировав динамику групповых средних, можно обнаружить, что в отдельных группах районов средняя урожайность либо не изменилась, либо возрастает, а снижение общей средней по области в целом обусловлено ростом удельного веса районов с более низкой урожайностью в общем производстве этой сельскохозяйственной культуры.

Очевидно, что динамика групповых средних более полно отражает закономерности изменения урожайности, а динамика общей средней показывает лишь общий результат.

4.Необходим обоснованный выбор единицы совокупности, для которой рассчитывается средняя.

Далее рассмотрим виды средних величин, особенности их исчисления и области применения.

Средние величины делятся на два больших класса:

Степенные средние;

Структурные средние.

К степенным средним относятся такие наиболее известные и часто применяемые виды, как средняя геометрическая, средняя арифметическая и средняя квадратическая.

В качестве структурных средних рассматриваются мода и медиана.

Остановимся на степенных средних. Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя считается по несгруппированным данным и имеет следующий вид:

,

где X_i – варианта (значение) осредняемого признака;

m- показатель степени средней;

n – число вариант.

Взвешенная средняя считается по сгруппированным данным и имеет обобщенный вид

,

где X_i – варианта (значение) осредняемого признака или серединное значение интервала, в котором измеряется варианта;

m – показатель степени средней;

f_i – частота, показывающая, сколько раз встречается i-е значение осредняемого признака.

В качестве примера можно привести расчет среднего возраста студентов в группе из 20 человек:

№ п/п	Возраст (лет)	№ п/п	Возраст (лет)	№ п/п	Возраст (лет)	№ п/п	Возраст (лет)

Средний возраст рассчитываем по формуле простой средней:

года.

Сгруппируем исходные данные. Получим следующий ряд распределения:

Возраст, Х лет						Всего
Число студентов

В результате группировки получаем новый показатель – частоту, указывающую число студентов в возрасте Х лет. Следовательно, средний возраст студентов группы будет рассчитываться по формуле взвешенной средней:

года.

Общие формулы расчета степенных средних имеют показатель степени (m). В зависимости от того, какое значение он принимает, различают следующие виды степенных средних:

Средняя гармоническая, если m = -1;

Средняя геометрическая, если m ® 0;

Средняя арифметическая, если m = 1;

Средняя квадратическая, если m = 2;

Средняя кубическая, если m = 3.

Формулы приведены в таблице:

Таблица 6. Виды степенных средних

Вид степенной средней	Показатель степени (m)	Формула расчета
Простая	Взвешенная
Гармоническая	-1		m = xf
Геометрическая
Арифметическая
Квадратическая
Кубическая

Если рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутся неодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени m увеличивается и соответствующая средняя величина:

.

В статистической практике чаще, чем остальные виды средних взвешенных, используются средние арифметические и средние гармонические взвешенные.

Как выбрать какую среднюю рассчитывать арифметическую или гармоническую?

В.Е. Овсиенко1 формализовал порядок выбора формы средней качественного признака на основе следующих правил:

1. Если имеется ряд данных по двум взаимосвязанным показателям, для одного из которых нужно вычислить среднюю величину, и при этом известны численные значения знаменателя ее логической формулы, а значения числителя не известны, но могут быть найдены как произведения этих показателей, то средняя должна вычисляться по формуле средней арифметической взвешенной.

2. Если в указанной постановке задачи известны численные значения числителя логической формулы, а значения знаменателя не известны, но могут быть найдены как частное от деления одного показателя на другой, то средняя вычисляется по формуле средней гармонической.

3. В том случае, когда в условии задачи даны численные значения числителя и знаменателя логической формулы показателя, средняя вычисляется непосредственно по этой формуле.

Следует также отметить, что средняя гармоническая имеет более сложную конструкцию, чем средняя арифметическая. Среднюю гармоническую применяют для расчетов тогда, когда в качестве весов используются не единицы совокупности – носители признака, а произведения этих единиц на значения признака (т.е. m = Xf). К средней гармонической простой следует прибегать в случаях определения, например, средних затрат труда, времени, материалов на единицу продукции, на одну деталь по двум (трем, четырем и т.д.) предприятиям, рабочим, занятым изготовлением одного и того же вида продукции, одной и той же детали, изделия.

Пример. Пусть даны три промышленных предприятия, которые заняты производством стиральных машин. Себестоимость производства стиральных машин на 1-м предприятии – 5 тыс. руб., на 2-м – 3 тыс. руб., на 3-м – 6 тыс. руб.

Определить среднюю себестоимость стиральной машины при условии, что на каждом предприятии общие затраты на ее изготовление составляют 60 тыс. рублей.

Решение:

Мы могли бы решить задачу с помощью средней арифметической простой ( тыс. руб.), если бы каждое предприятие выпускало по одной стиральной машине, но это не так, а потому