Тема 5: Изучение динамики общественных явлений

Ряды динамики. Классификация.

Ряд динамики, хронологический ряд, динамический ряд, временной ряд – это последовательность упорядоченных во времени числовых показателей, характеризующих уровень развития изучаемого явления. Всякий ряд динамики включает, следовательно, два обязательных элемента: во-первых, время и, во-вторых, конкретное значение показателя, или уровень ряда.

Ряды различаются по следующим признакам:

1) По времени – моментные и интервальные ряды. Интервальный ряд динамики – последовательность, в которой уровень явления относится к результату, накопленному или вновь произведенному за определенный интервал времени. Таковы, например, ряды показателей объема продукции по месяцам года, количества отработанных человеко-дней по отдельным периодам и т.д.

Если уровень ряда показывает фактическое наличие изучаемого явления в конкретный момент времени, то совокупность уровней образует моментный ряд динамики. Примерами моментных рядов могут служить последовательности показателей численности населения на начало года, величины запаса какого-либо материала на начало периода и т.д.

Важное аналитическое отличие моментных рядов от интервальных состоит в том, что сумма уровней интервального ряда дает вполне реальный показатель – общий выпуск продукции за год, общие затраты рабочего времени, общий объем продаж акций и т.д., сумма же уровней моментного ряда, хотя иногда и подсчитывается, но реального содержания, как правило, не имеет.

2) По форме представления уровней – ряды абсолютных, относительных и средних величин (таблицы 7,8,9).

3) По расстоянию между датами или интервалами времени выделяют полные и неполные хронологические ряды.

Полные ряды динамики имеют место, когда даты регистрации или окончания периодов следуют друг за другом с равными интервалами. Это равноотстоящие ряды динамики (таб. 7,8). Неполные – когда принцип равных интервалов не соблюдается (таб. 9).

4) По числу показателей можно выделить изолированные и комплексные (многомерные) ряды динамики. Если ведется анализ во времени одного показателя, имеем изолированный ряд динамики (таб.7,8). Комплексный ряд динамики получаем в том случае, когда в хронологической последовательности дается система показателей, связанных между собой единством процесса или явления (таб. 9).

Таблица 7. Объем продаж долларов США на ММВБ, млн. долл.

Дата

10.01.97

11.01.97

12.01.97

13.01.97

Объем продаж

126,750

124,300

148,900141,100

Таблица 8. Индекс инфляции в 1994 г.

(на конец периода, в % к декабрю 1993г)

ПериодянварьфевральМартАпрельмайИюньИндекс инфляции126162190221264310

Таблица 9. Потребление основных продуктов

питания на одного члена семьи, кг/год

Продукты198019851990199219931994Мясо и мясопродукты78,076,370,763,953,558,6Молоко и молочные продукты420,5397,4385,8352,4295,4300,2Хлебные продукты110,299,693,498,9105,7112,3

О правилах построения рядов динамики.

Чтобы о развитии явления можно было получить представление при помощи числовых уровней, при составлении ряда динамики должны выполняться следующие требования:

Периодизация развития, т.е. расчленение его во времени на однородные этапы, в пределах которых показатель подчиняется одному закону развития. (По существу, это типологическая группировка во времени).

Периодизация может осуществляться несколькими методами.

А. Исторический метод. Периодизация осуществляется на основе "узаконенной структуры" динамики, при этом обращают внимание на значимые даты и события, а именно: время принятия управленческих решений по данному показателю, смену хозяйственного механизма, смену руководства, войну и т.п. (Недостатком метода является то, что точные временные границы периодов путем теоретического анализа удается получить довольно редко).

Б. Метод параллельной периодизации. Идея этого метода заключается в следующем. Пусть Y – анализируемый показатель, развернутый в динамический ряд {Yt}, где Yt - значение уровня ряда в момент (интервал) времени t. Возможно, существует показатель Х, которому соответствует динамический ряд {Хt}, определяющий поведение исследуемого показателя Y. Тогда в роли однокачественных периодов развития Y нужно взять периоды Х.

Рассмотрим условный пример:

Показатель198119821983198419851986198719881989Х10911131218172021Y201921242435344041Периоды однокачественной динамики показателей Х легко выделить: это 1981 – 1985 и 1986 – 1989 гг. Линейный коэффициент корреляции между этими рядами очень высок: R = 0,995. Таким образом, можно считать, что ряд Х полностью определяет значение уровней ряда Y. Теперь, если предстоит качественный скачок показателя Х, то с очень большой степенью вероятности можно ожидать аналогичных изменений показателя Y. В качестве недостатка метода параллельной периодизации следует отметить сложности в нахождении Х – детерминирующего показателя. Более того, во многих случаях такой параметр вообще невозможно найти, так как он должен обладать весьма редкими свойствами – связью с анализируемым показателем и, главное, неоспоримыми временными границами периодов.

В. Методы многомерного статистического анализа. Часто требуется выделить однокачественные периоды в развитии явлений или процессов, получить адекватное отображение которых с помощью одного лишь показателя трудно. К таковым относятся, в частности, здоровье населения, развитие сельскохозяйственного производства и многие другие. Очевидно, что даже такие комплексные показатели, как смертность, продолжительность жизни, заболеваемость, недостаточны для эквивалентного описания столь сложного, интегрированного явления, как здоровье.

Необходима система показателей – комплексный динамически ряд. В системе показателей:

учитывается многообразие аспектов явления;

амортизируется искажающее воздействие недостоверных и неточных статистических данных;

наличие множества показателей повышает обоснованность статистических выводов.

Идеальным выходом является использование множества, включающего все характеристики процесса. Однако это не всегда возможно по разным причинам, и чаще всего вследствие недоступности статистической информации. На основе комплексных динамических рядов (системы показателей) периодизация реализуется методом многомерной средней и методами факторного анализа.

Однокачественность уровней временного ряда означает, что в пределах всего изучаемого периода, к которому относятся уровни, должна быть проведена типологическая группировка.

После выделения однородных групп могут использоваться и анализироваться уровни ряда. Это требование может быть сформулировано как обеспечение сравнимости по структуре совокупности, для чего обычно применяется стандартная, нормативная структура.

Статистические данные должны быть сопоставимы по территории, кругу охватываемых объектов, единицам измерения, времени регистрации, ценам, методологии расчета.

Сопоставимость по территории означает, что данные по странам и регионам, границы которых изменились, должны быть пересчитаны в старых пределах. Сопоставимость по кругу охватываемых объектов означает сравнение совокупностей с равным числом элементов.

Территориальная и объемная и сопоставимость обеспечивается смыканием рядов динамики, при этом либо абсолютные уровни заменяются относительными, либо делается пересчет в условные абсолютные уровни.

Не возникает особых сложностей при обеспечении сопоставимости данных по единицам измерения; стоимостная сравнимость достигается системой сопоставимых цен. Трудности могут появиться при сравнении данных по моменту регистрации. В большей степени это относится к сезонным явлениям. В таких случаях даже регистрация на одну и ту же дату часто бывает недостаточно для обеспечения сопоставимости. Например, численность скота в домашнем хозяйстве на 20.11.1990 г. и 20.11.1995г. качественно различается в связи с ранней зимой 1990 г., что привело соответственно к раннему забою скота. Регистрацию таких процессов лучше выполнять в "нейтральные" даты. Это середина зимы, когда забой прекращается, и середина лета, когда процесс появления приплода стабилизируется и заканчивается.

1. Величины временных интервалов должны соответствовать интенсивности изучаемых процессов. Чем больше вариация уровней во времени, тем чаще следует делать замеры. Соответственно для стабильных процессов интервалы можно увеличить. Так, переписи населения достаточно проводить один раз в десять лет; учет национального дохода, урожая ведется раз в год, ежедневно регистрируются курсы покупки и продажи валют, ежечасно – температура воздуха и т.п.

2. Числовые уровни рядов динамики должны быть упорядоченными во времени. Не допускается анализ рядов с пропусками отдельных уровней, если же такие пропуски неизбежны, то их восполняют расчетными значениями.

Показатели анализа рядов динамики.

При изучении явления во времени перед исследователем встает проблема описания интенсивности изменения и расчета средних показателей динамики. Решается она путем построения соответствующих показателей.

Для характеристики интенсивности измерения во времени такими показателями будут:

1. абсолютный прирост; 2) темпы роста; 3) темпы прироста; 4) абсолютное значение одного процента прироста.

В случае, когда сравнение проводится с периодом (моментом) времени, начальным в ряду динамики, получают базисные показатели. Если же сравнение производится с предыдущим периодом или моментом времени, то говорят о цепных показателях.

Расчет показателей динамики представлен в следующей таблице: Таблица 10.

Показатель	Базисный	Цепной
Абсолютный прирост ((i баз; (i цеп)*
Коэффициент роста (Кр)**
Темп роста (Тр)
Коэффициент прироста (Кпр)	Кр- 1; ;	Кр- 1; ;
Темп прироста (Тпр)	;	;
Абсолютное значение одного процента прироста (А)		; ;

* -

** - .

Пример.

Имеются данные об объемах и динамике продаж акций на 15 крупнейших биржах России за пять месяцев 1997 г. (данные условные). Произведем расчет всех основных показателей.

Показатель	март	апрель	май	июнь	июль	август
Объем продаж, млн. руб.	709,98	1602,61	651,83	220,80	327,68	277,12
Абсолют. прирост: Цепной Базисный	- -	892,63 892,63	-950,78 -58,15	-431,03 -489,18	106,88 -382,3	-50,56 -432,86
Коэффициент (индекс) роста: Цепной	-	2,257	0,407	0,339	1,484	0,846
Темп роста, %: Цепной Базисный	-	225,7 225,7	40,7 91,8	33,9 31,1	148,4 46,2	84,6 39,0
Темп прироста, %: Цепной Базисный	- -	125,7 125,7	-59,3 -8,2	-66,1 -68,9	48,4 -53,8	-15,4 -61,0
Абсолют. значение 1% прироста Цепной	-	7,10	16,03	6,52	2,21	3,28

Система средних показателей динамики включает:

- средний уровень ряда;

- средний абсолютный прирост;

- средний темп роста;

- средний темп прироста.

Средний уровень ряда – это показатель, обобщающий итоги развития явления за единичный интервал или момент из имеющейся временной последовательности.

Расчет среднего уровня ряда динамики определяется видом этого ряда и величиной интервала, соответствующего каждому уровню.

Для интервальных рядов с равными периодами времени средний уровень `Y рассчитывается следующим образом:

или ,

где n или (n + 1) – общая длина временного ряда или общее число равных временных отрезков, каждому из которых соответствует свой уровень Y_i (i = 1,2,..., n или i= 0,1,2,..., n).

Если в интервальном ряду отрезки имеют неравную длительность, то средний уровень рассчитывается по формуле средней арифметической:

или .

Выбор формулы определяется характером исходных данных; при этом числитель должен иметь реальное содержание.

Для моментных временных рядов величина среднего уровня зависит от того, как шло развитие явления в рамках интервалов, разделяющих отдельные наблюдения. Обычно считают, что в пределах каждого периода, разделяющего моментные наблюдения, развитие происходило по линейному закону. Тогда общий средний уровень находится как среднее значение из средних по каждому интервалу. Для моментного ряда с равноотстоящими моментами получаем в итоге формулу средней хронологической.

Вид формулы определяется способом нумерации уровней. Если уровни нумеруются начиная с нуля, то средняя хронологическая имеет вид:

.

Если же уровни обозначены Y₁, Y₂,..., Y_k, формула получает вид

.

Для моментного ряда с неравными интервалами предварительно находятся значения уровней в серединах интервалов:

, ,..., ,

а затем определяется общий средний уровень ряда:

.

Рассмотрим примеры.

1) По данным таб.7.

млн. валютных единиц.

2) Пусть имеются данные о валютном курсе на ММВБ (руб./долл.)

Дата	13.12.93	14.12.93	15.12.93	16.12.93	17.12.93
Курс

руб./ долл.

Средний абсолютный прирост рассчитывается по формулам в зависимости от способа нумерации интервалов (моментов)

или

Средний темп роста:

,

где - средний коэффициент роста, рассчитанный как

.

Здесь К_цеп – цепные коэффициенты роста; К_баз – базисный коэффициент роста.

Если нумерация уровней ряда начинается с единицы, то формула среднего коэффициента роста выглядит следующим образом:

.

Средний темп прироста (%) определяется по единственной методологии:

.

Структура ряда динами. Проверка ряда на наличие тренда.

Всякий ряд динамики теоретически может быть представлен в виде составляющих:

1) тренд – основная тенденция развития динамического ряда (к увеличению либо снижению его уровней);

2) циклические (периодические) колебания, в том числе сезонные;

3) случайные колебания.

Изучение тренда включает два основных этапа:

- ряд динамики проверяется на наличие тренда;

- производится выравнивание временного ряда и непосредственное выделение тренда.

Проверка на наличие тренда в ряду динамики может быть осуществлена по нескольким критериям.

1. Метод средних. Изучаемый ряд динамики разбивается на несколько интервалов (обычно на два), для каждого из которых определяется средняя величина (У₁, У₂). Выдвигается гипотеза о существенном различии средних. Если эта гипотеза принимается, то признается наличие тренда.

2. Фазочастотный критерий знаков первой разности (Валлиса и Мура). Суть его заключается в следующем: наличие тренда в динамическом ряду утверждается в том случае, если этот ряд не содержит либо содержит в приемлемом количестве фазы – изменение знака разности первого порядка (абсолютного цепного прироста).

3. Критерий Кокса и Стюарта. Весь анализируемый ряд динамики разбивают на три равные по числу уровней группы (в том случае, если количество уровней ряда динамики не делится на три, недостающие уровни нужно добавить) и сравнивают между собой уровни первой и последней групп.

4. Метод серий. По этому способу каждый конкретный уровень временного ряда считается принадлежащим к одному из двух типов: например, если уровень ряда меньше медианного значения, то считается что он имеет тип А, в противном случае – тип В.

Теперь последовательность уровней временного ряда выступает как последовательность типов. Ряд типов выглядит так: ВВВВВВВ ААААААА.

В образовавшейся последовательности типов определяется число серий. Серией называется любая последовательность элементов одинакового типа, граничащая с элементами другого типа.

Для данного ряда число серий (R) равно 2.

Если во временном ряду общая тенденция к росту или снижению отсутствует, то количество серий является случайной величиной, распределенной приближенно по нормальному закону (для n > 10). Следовательно, если закономерности в изменениях уровней нет, то случайная величина R оказывается в доверительном интервале

.

Параметр t назначается в соответствии с принятым уровнем доверительной вероятности Р(если Р = 0,683, то t = 1; если Р = 0,95, то t = 1,96; если Р = 0,954, то t = 2 и т.д.).

Среднее число серий .

Среднее квадратическое отклонение числа серий

.

Где n – число уровней ряда.

Выражение для доверительного интервала приобретает вид

.

Полученные границы доверительного интервала округляют до целых чисел, уменьшая нижнюю границу и увеличивая верхнюю.

Если показатель числа серий (R) выходит за пределы возможного случайного поведения и, следовательно, в изменении уровней ряда имеется общая закономерность, тенденция. Напротив, если число серий укладывается в пределах случайного поведения, то гипотеза о наличии общей закономерности не может быть принята.

Непосредственное выделение тренда может быть произведено тремя методами.

1) Укрупнение интервалов. Ряд динамики разделяют на некоторое достаточно большое число равных интервалов. Если средние уровни по интервалам не позволяют увидеть тенденцию развития явления, переходят к расчету уровней за большие промежутки времени, увеличивая длину каждого интервала (одновременно уменьшается количество интервалов).

2) Скользящая средняя. В этом методе исходные уровни ряда заменяются средними величинами, которые получают из данного уровня и нескольких симметрично его окружающих. Целое число уровней, по которым рассчитывается среднее значение, называют интервалом сглаживания. Интервал может быть нечетным (3,5,7 и т.д. точек) или четными (2,4,6 и т.д. точек).

При нечетном сглаживании полученное среднее арифметическое значение закрепляют за серединой расчетного интервала, при четном этого делать нельзя. Поэтому при обработке ряда четными интервалами их искусственно делают нечетными, для чего образуют ближайший больший нечетный интервал, но из крайних его уровней берут только 50 %.

Недостаток методики сглаживания скользящими средними состоит в условности определения сглаженных уровней для точек в начале и конце ряда. Получают их специальными приемами – расчетом средней арифметической взвешенной.

Так, при сглаживании по трем точкам выравненное значение в начале ряда рассчитывается по формуле:

Для последней точки расчет симметричен.

При сглаживании по пяти точкам имеем:

,

.

Для последних двух точек ряда расчет сглаженных значений полностью симметричен сглаживанию в двух начальных точках.

Формулы расчета по скользящей средней выгладят, в частности, следующим образом:

Для 3–членной Ŷ_i = ;

для 5-членной Ŷ_i= .

3) Аналитическое выравнивание. Под этим понимают определение основной проявляющейся во времени тенденции развития изучаемого явления. Развитие предстает перед исследователем как бы в зависимости только от течения времени. В итоге выравнивания временного ряда получают наиболее общий, суммарный, проявляющийся во времени результат действия всех причинных факторов. Отклонение конкретных уровней ряда от уровней, соответствующий общей тенденции, объясняют действием факторов, проявляющихся случайно или циклически. В результате приходят к трендовой модели

.

где f(t) – уровень, определяемый тенденцией развития;

- случайное и циклическое отклонение от тенденции.

Целью аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической или графической зависимости f(t). На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t), а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию f(t) выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса.

Чаще всего при выравнивании используются следующие зависимости:

Линейная ;

Параболическая ,

Экспоненциальные

или .

Линейная зависимость выбирается в тех случаях, когда в исходном временном ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные цепные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению.

Параболическая зависимость используется, если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют.

Экспоненциальные зависимости применяются, если в исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста, темпов прироста, коэффициентов роста), либо, при отсутствии такого постоянства, - устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста цепных же темпов роста, цепных коэффициентов роста цепных же коэффициентов или темпов роста и т.п.)

Оценка параметров (а₀, а₁, а₂,...) осуществляется следующими методами:

1) методом избранных точек;

2) методом наименьших расстояний;

3) методом наименьших квадратов (МНК).

В большинстве расчетов используют метод наименьших квадратов, который обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений фактических уровней от выравненных ().

Для линейной зависимости () параметр а₀ обычно интерпретации не имеет, но иногда его рассматривают как обобщенный начальный уровень ряда; а₁ – сила связи, т.е. параметр, показывающий,,, насколько изменится результат при изменении времени на единицу. Таким образом, а₁ можно представить как постоянный теоретический абсолютный прирост.

Нахождение параметров той или иной гипотетической функции осуществляется аналогично нахождению параметров уравнений регрессии (только в качестве фактора х выступает фактор времени t).

Так, при выравнивании ряда по прямой для нахождения параметров прямой решается система нормальных уравнений вида

;

.

При ручной обработке для упрощения счета при выравнивании динамических рядов условное обозначение временных точек (t) можно вести так, чтобы . В этом случае системы нормальных уравнений значительно упрощаются.

Так, при выравнивании по прямой система будет иметь вид:

При выравнивании по параболе второго порядка (если ) система имеет следующий вид:

Выравнивание по аналитическим формулам может быть использовано при прогнозировании отдельных показателей путем экстраполяции ряда (нахождения уровней за пределами данного ряда).

Для изучения этой темы необходимо иметь представление об автокорреляции.

Ряды, у которых каждый уровень может быть выражен как функция предыдущих, например , называют авторегрессионными, а зависимость между соседними членами именуют автокорреляцией и измеряют с помощью коэффициента автокорреляции.

или

.

Изучение автокорреляции занимает немаловажное место в анализе рядов динамики. В частности, при параллельном рассмотрении рядов динамики измерять корреляцию между ними можно только после проверки каждого ряда на автокорреляцию и исключения ее, если она есть.

Исключение автокорреляции в рядах можно обеспечить, коррелируя не сами уровни, а так называемые остаточные величины, получаемые как разность эмпирических и теоретических (выравненных) уровней, т.е.

.

В этом случае корреляция между остаточными величинами будет определяться по формуле

.

В свою очередь, остаточные величины () также должны проверяться на автокорреляцию. Для этой цели может быть использован коэффициент автокорреляции для остаточных величин

,

а также критерий Дурбина – Ватсона .

Анализ сезонных колебаний.

При анализе рядов динамики важное значение имеет выявление сезонных колебаний. Этим колебаниям свойственны более или менее устойчивые изменения уровней ряда по внутригодовым периодам: месяцам, кварталам. Для выявления сезонных колебаний обычно анализируются месячные и квартальные уровни ряда динамики за год или за несколько лет. При изучении сезонных колебаний используются специальные показатели – индексы сезонности (I_S). Способы определения индексов сезонности различны; они зависят от характера основной сезонности ряда динамики.

Для ряда внутригодовой динамики, в которой основная тенденция роста незначительна (или она не наблюдается совсем), изучение сезонности основано на методе постоянной средней: являющейся средней из всех рассматриваемых уровней. Самый простой способ заключается в следующем: для каждого года рассчитывается средний уровень, а затем с ним сопоставляется (в процентах) уровень каждого месяца. Это процентное отношение обычно именуется индексом сезонности: .

Пример. Рассмотрим таблицу:

Месяцы

Январь

Февраль

Март

Апрель

Май

Июнь

Июль

Август

Сентябрь

Октябрь

Ноябрь

Декабрь

Итого

Численность рабочих, чел.

В приведенном примере средний уровень ряда составляет:

человек.

Индекс сезонности составляет для января ;

для февраля и т.д.

Однако помесячные данные одного года в силу элемента случайности слишком ненадежные для выявления закономерности колебаний. Поэтому на практике для выявления закономерности колебаний пользуются помесячными данными за ряд лет (в основном не менее 3-х лет). Тогда для каждого месяца рассчитывается средняя величина уровня за три года, затем рассчитывается среднемесячный уровень для всего ряда и в заключение определяется процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда, т.е.

,

где - средняя для каждого месяца за 3 года;

- общий средний месячный уровень за 3 года.

Пример. Пусть имеются следующие условные данные:

Внутригодовая динамики числа расторгнутых браков

населением города по месяцам за 1995 – 1997 гг.

Месяцы	Число расторгнутых браков	Индекс сезонности () * 100%
			В среднем за 3года
Январь				165,7	122,4
Февраль				147,0	108,6
Март				150,7	11,3
Апрель				136,0	100,4
Май				136,0	100,4
Июнь				125,7	92,8
Июль				126,0	93,1
Август				120,7	89,1
Сентябрь				118,0	87,2
Октябрь				128,0	94,5
Ноябрь				131,7	97,3
Декабрь				139,3	102,9
Средний уровень ряда ()	138,7	135,6	131,8	135,4	100,0

Для получения значений по способу средней простой (невзвешенной) производим осреднение уровней одноименных периодов:

январь ;

февраль ;

....................

декабрь .

Определяем осредненные значения уровней ряда для каждого месяца годового цикла (см. табл.): январь ;

февраль и т.д.

Далее по вычисленным месячным средним уровням определяем общий средний уровень ():

,

где n- число месяцев.

Значение общего среднего уровня можно вычислить также и по итоговым данным за отдельные годы:

,

где m – число лет;

- сумма среднегодовых уровней ряда динамики.

Далее определим по месяцам года индексы сезонности:

Январь ;

Февраль и т.д.

Совокупность исчисленных для каждого месяца годового цикла индексов сезонности характеризует сезонную волну развития числа расторгнутых браков в городе во внутригодовой динамике. Для получения наглядного представления о сезонной волне желательно изобразить полученные данные в виде линейной диаграммы.

При наличии ярко выраженной тенденции к увеличению или уменьшению уровней из года в год применимы другие способы измерения сезонных колебаний, в частности индексы сезонности определяются на основе методов, которые позволяют исключить влияние тенденции роста (падения).

При использовании способа аналитического выравнивания ход вычислений следующий:

1) вычисляют для каждого месяца (квартала) выравненные уровни по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t;

2) берут отношение фактических месячных (квартальных) данных (y_i) к соответствующим им выравненным данным в процентах: ;

3) находят среднюю из этих отношений для одноименных месяцев (кварталов) в процентах:

,

где n – число одноименных месяцев;

4) из полученных 12 помесячных относительных величин () вычисляют общий среднемесячный уровень ();

5) определяют индексы сезонности по формуле или : n

где - исходные уровни ряда;

- выравненные (теоретические) уровни ряда;

n – число годовых периодов.