Тема5. Статистичні методи вивчення взаємозв’язків

При вивченні цієї теми насамперед потрібно добре засвоїти поняття про види і форми існуючих зв'язків між суспільно-економічними явищами. Студент повинен знати, що ознака, яка характеризує причину чи умову, є факторною -Х, а ознака, яка характеризує наслідок — результативною У.

Основною характеристикою кореляційного зв'яжу є лінія регресії, тобто функція, що зв'язує середні значення ознаки у зі значеннями ознаки х. У статистиці найпоширенішими методами вивчення кореляційних зв'язків є метод аналітичного групування та кореляційно-регресійний метод. Процес реалізації цих двох методів включає такі етапи: 1) теоретичне обгрунтування моделі; 2) оцінка лінії регресії; 3) вимірювання тісноти зв'язку між ознаками, що вивчаються; 4) перевірка істотності зв'язку.

Суть аналітичного групування полягає в тому, що одиниці сукуп­ності групують за факторною ознакою х, а потім для кожної виділеної групи підраховують число одиниць сукупності і обчислюють середнє значення результативної ознаки у. Якщо залежно від зміни значень фак­торної ознаки змінюються якимось чином і срередеі значення результа­тивної ознаки, то робиться висновок про наявність і напрям зв'язку між ними: зв'язок прямий — збільшення х приводить до збільшення у; зв'я­зок зворотній — зі збільшенням х зменшується у; відсутність будь-якої систематичності у зміні у зі зміною х свідчить про відсутність зв'язку між ними.

На першому етапі побудови аналітичного групування розв'язу­ються два питання: вибір факторної і результативної ознаки та визна­чення числа груп та їх меж. Слід пам'ятати, що типовість та сталість групових середніх залежить від числа одиниць сукупності у кожній групі.

На другому етапі проводиться оцінка лінії регресії — у кожній групі, виділеній за факторною ознакою, обчислюються середні значення

результативної ознаки.

Третій етап аналітичного групування, який полягає у вимірювати тісноти звязку між факторною і результативною ознаками, грунтується на правилі складання дисперсій: σ² = δ² + σ², тобто загальна дисперсія σ² дорівнює сумі міжгрупової δ² -та середньої з групових дисперсій σ².

Загальна дисперсія, яка характеризує варіацію результативної оз­наки під впливом усіх причин чи умов, може бути обчислена за форму­лами

∑ (у_і - у)²

σ² = y² - (y)² або σ² =

n

Міжгрупова дисперсія, що характеризує варіацію результативної ознаки, повязану з варіацією групувальної ознаки, обчислюється за формулою

∑(у_і - у)²ƒ

δ² =

∑ƒ_і

де у_і, — групові середні результативної ознаки.

Середню з групових дисперсій, яка вимірює варіацію результативної ознаки, пов'язану з впливом усіх факторних ознак, крім покладеної в основу групування, можна обчислити за наступною формулою

∑σ²_і ƒ _і

σ² = σ² - δ² або σ² =

∑ƒ _і

де σ²_і - внугршньосгрупові дисперсії, які обчислюються за формулою

∑(у-у_і )²

σ²_і =

∑ƒі

де у_і, — індивідуальні значення результативної ознаки в і-ій групі.

Щоб виміряти тісноту звязку, слід обчислити співвідношенняміжгрупової дисперсії та загальної, тобто кореляційне відношення:

δ²

η² =,

σ²

яке коливається в межах від 0 до 1 і характеризує частку варіації результативної ознаки, поясненої варіацією факторної ознаки.

На останньому етапі для перевірки істотності зв'язку слід викори­стати критичні значення η² або критичні значення F- критерією, які наведені в додатку.

Фактичні значення F -критерію обчислюють за формулами

η² k₂ δ² k₂

F =. F=.

1- η² k₁ σ² k₁

Де k_2, k_{1 –} число ступенів вільності;

k₁ = m-1, m – число груп;

k₂ = n- m, n – число одиниць сукупності.

Фактичні значення η² і F необхідно порівняти з критич­ними для рівнів істотності α= 0,05 або α= 0,01. Якщо фактичні значення η² і F- критерію перевищують відповідні критичні, то зв'язок між озна­ками визначається істотним. Якщо фактичні значення η² і F -критерію менше відповідних критичних, то висновок залишається невизначеним, а наявність або відсутність зв'язку - не доведеною.

В основі кореляційно-регресійного аналізу лежить припущення, що залежність між факторною і результативною ознаками може бути виражена функцією У=ƒ(х), яка називається рівнянням регресії.

За аналітичним виразом залежність може бути лінійною і нелінійною. Найбільш поширені такі рівняння регресії:

Y=a+bx – лінійне;

Y=ab^x - показникове;

Y=ax^b - степеневе;

Y=a+bx+cx² - параболічне;

b

Y=a+ - гіперболічне,

x

де У – теоретичні значення результативної ознаки, a, b, і c – параметри рівняння регресії, які називаються коефіціентами регресії.

На першому етапі кореляційно-регресійного аналізу обгрунтуванні моделі, як і в аналітичному групуванні, розв'язуються два пи­тання: вибір факторної і результативної ознаки та вибір виду рівняння регресії.

Правильний вибір ознак і виду рівняння регресії потребує теоретичного аналізу взаємозв'язку. Для підтвердження правильності вибору виду рівняння регресії часто застосовується графічне зображення зв'язку у вигляді кореляційного поля. При його побудові на осі абсцис треба відкласти значення факторної ознаки х, а на осі ординат — результативної ознаки у. Кожній одиниці сукупності на графіку відповідає окре­ма точка. 3а формою розміщення точок на кореляційному полі робиться висновок відносно виду регресійного рівняння. При великому обсязі су­купності доцільно на графіку зображати групові середні попередньо по­будованого аналітичного групування. Лінію групових середніх назива­ють емпіричною лінією регресії.

Для визначення виду рівняння регресії застосовується також спосіб перебору функцій, коли обчислюють рівняння регресії різних видів і з них на основі статистико-математичних критеріїв вибирають найкраще.

На етапі оцінки лінії регресії визначають параметри обраного рівняння методом найменших квадратів на основі побудови і розв'язу­вання відповідної системи нормальних рівнянь. Лінійній функції відповідної системи таких рівнянь з двома невідомими:

na +b ∑x = ∑y,

a∑ x+b∑x² =∑xy.

Особливу увагу слід звернути на інтерпретацію параметрів лінійного рівняння регресії а і Ь. Параметр b показує на скільки одиниць власного виміру змінюється середнє значення результативної ознаки зі збільшенням факторної ознаки на одиницю власного вимірювання. Па­раметр а — теоретичне значення У для х = 0, якщо 0 знаходиться в ме­жах фактичної варіації ознаки х. У противному разі параметр а не має реального змісту.

Тісноту лінійного зв'язку можна виміряти за допомогою лінійного коефіцієнта кореляції r:

xy – x. y

r=,

σ_{x ∙} σ_y

∑ ху

де ху =;

n

х і у - середні значення факторної і результативної ознаки;

σ_x і σ_y — середні квадратичні відхилення відповідних ознак.

Цей показник коливається в межах під 1 до + 1 і характеризує не тільки тісноту, але і напрям зв'язку.

Мірою тісноти зв'язку як лінійного, так і нелінійного є коефіцієнт детермінації R² — співвідношення факторної дисперсії σ²_у і загальної σ²:

σ²_у ∑(У-у)²

R² =, де σ²_у = _.

σ² n

Коефіцієнт детермінації приймає значення від 0 до 1 і характеризує частку варіацій результативної ознаки, яка пов'язана з факторною оз­накою при відповідній формі зв'язку.

Корінь квадратний з коефіцієнта детермінації є індекс кореляції R:

R=√ R²

Студет повинен знати, що при лінійній формі зв'язку абсолютна

величина лінійного коефіцієнта кореляції дорівнює індексу кореляції, тобто │r│= R.

Для якісної характеристики тісноти зв'язку використовуються такі характеристики:

Значення r і R	0,1—0,3	0,3—0,5	0,5 - 0,7	0,7- 0,9	0,9— 0,99
Оцінка тісно­ти зв'язку	слаба	помірна	помітна	значна	дуже значна

У кореляційно-регресійному аналізі істотність зв'язку перевіря­ється так само, як і в аналітичному групуванні з допомогою R² чи F- критерію, фактичне значення якого в даному випадку обчислюється за формулою

R² k₂

F= ∙

1- R² k₁

При визначенні числа ступенів вільності дійсні ті ж формули,що і в аналітичному групуванні, але m — число параметрів в регресійному рівнянні.

Запитання для самоперевірки

1. Викладіть методологічні засади вимірювання взаємозв'язку.

2. Які види зв'язку ви знаєте?

3. Який зв'язок має назву функціонального, у чому він проявляється?

4. Які особливості прояву має стохастичний та кореляційний зв'язок?

5. Які методи вивчення звязку і в чому їх суть і особливості?

6. Як побудувати аналітичне групування

7. Назвіть етапи вивчення кореляційного зв'язку методом аналітичного

групування.

8. Що лежить в основі оцінки тісноти зв'язку?

9. Яку варіацію характеризує загальна, міжгрупова та середня з групо-

вих дисперсій?

10. Як обчислити кореляційне відношення і що воно характеризує?

11.Що лежить в основі перевірки істотності зв'язку?

12. Викладіть методи визначення виду рівняння регресії.

13. Як побудувати кореляційне поле і емпіричну лінію регресії?

14. З якою метою і як визначається F -критерій?

15. Як визначите параметри регресійного рівняння?

16. Що характеризують параметри лінійного рівняння регресії?

17. Назвіть показники, які використовуються для оцінки тісноти зв'язку в регресійному аналізі та напишіть формули їх обчислення.

18. Який зміст мають коефіцієнт детермінації, індекс кореляції та лінійний коефіцієнт кореляції і в яких межах змінюються їх значення?

19. Вкажіть особливості перевірки істотності зв'язку за рівнянням рег­ресії.