Распределение выборочных дисперсий двух генеральных совокупностей с известными математическими ожиданиями

Пусть и - две нормально распределённые генеральные совокупности, параметры и известны, а и - случайные выборки из совокупностей и соответственно.

Рассмотрим закон распределения статистики

,

которая представляет собой отношение выборочных дисперсий, найденных по этим выборкам.

В соответствии с (4.5.2) можно записать

, или , , откуда находим: (распределение Фишера). Запишем это соотношение в стандартизованном виде

. (4.5.6)

Упражнение.

4.5.2. Убедитесь в том, что соотношения

. (4.5.7)

и (4.5.6) эквивалентны.

Распределение выборочных дисперсий двух генеральных совокупностей (математические ожидания неизвестны)

Рассмотрим теперь закон распределения статистики

,

которая является отношением исправленных выборочных дисперсий, найденных по случайным выборкам и из генеральных совокупностей и соответственно.

Соотношения, аналогичные (4.5.6) и (4.5.7), в данном случае имеют вид

, . (4.5.8)

Упражнение.

4.5.3. Используя формулу (4.5.3) и определение распределения Фишера, докажите равенства (4.5.8).

Распределение разности выборочных средних двух генеральных совокупностей (дисперсии известны)

Пусть по-прежнему и - две нормально распределённые генеральные совокупности, параметры и известны, а и - случайные выборки из совокупностей и соответственно.

Рассмотрим закон распределения статистики - разности выборочных средних, найденных по этим выборкам.

Согласно (4.5.4), , , поэтому, с учётом композиционной устойчивости нормального закона распределения, получаем: или в стандартизованном виде

. (4.5.9)

Распределение разности выборочных средних двух генеральных совокупностей (дисперсии равны и неизвестны)

Пусть, как и выше, и - две нормально распределённые генеральные совокупности, дисперсии которых неизвестны, но равны друг другу, а и - случайные выборки из этих совокупностей.

В качестве оценки дисперсии генеральных совокупностей и естественно использовать объединённую выборочную дисперсию

.

Упражнения.

4.5.4. Используя результаты примеров 4.3.2 и 4.3.3, убедитесь в несмещённости и состоятельности оценки .

4.5.5. Покажите, что в рассматриваемых условиях

(4.5.10)

Объединим полученные результаты в таблицу.

Таблица 4.5.1

Предположения	Статистика	Закон распределения статистики
, известно
, неизвестно
, известна
, неизвестна
, , и известны
, , , неизвестны
, , и известны
, , неизвестны

Контрольные вопросы

Для следующих основных статистик указать соответствующие стандартизованные статистики, а также их законы распределения в предположении о нормальном распределении генеральных совокупностей.

1. Выборочная дисперсия ( известно).

2. Исправленная выборочная дисперсия ( неизвестно).

3. Выборочное среднее ( известна).

4. Выборочное среднее ( неизвестна).

5. Отношение выборочных дисперсий двух генеральных совокупностей ( и известны).

6. Отношение исправленных выборочных дисперсий двух генеральных совокупностей ( и неизвестны).

7. Разность выборочных средних двух генеральных совокупностей ( и известны).

8. Разность выборочных средних двух генеральных совокупностей ( и неизвестны).