Законы распределения основных статистик для нормальной генеральной совокупности

В некоторых вопросах представляют интерес законы распределения различных статистик, т.е. функций случайной выборки из генеральной совокупности . Например, такими статистиками могут быть выборочное среднее, выборочные дисперсии отношение выборочных дисперсий двух генеральных совокупностей и т.п.:

(выборочное среднее),

(выборочная дисперсия, известно),

(исправленная выборочная дисперсия).

Рассмотрим законы распределения основных статистик для одной или двух генеральных совокупностей в предположении, что генеральные совокупности имеют нормальный закон распределения.

Распределение выборочной дисперсии

Поскольку , то и , поэтому

. (4.5.1)

Представим в виде . Учитывая независимость в совокупности элементов случайной выборки и соотношение (4.5.1) получаем: (распределение «хи-квадрат»). Таким образом, или, в стандартизованном виде

(4.5.2)

(напомним, что символом мы обозначаем не только закон распределения, но и случайную величину, описываемую этим законом).

Распределение исправленной дисперсии

Для исправленной выборочной дисперсии можно доказать справедливость соотношения, подобного (4.5.2):

. (4.5.3)

Распределение выборочного среднего ( известно)

Как уже отмечалось, , поэтому, в силу композиционной устойчивости нормального закона распределения получаем: . Далее, поскольку линейное преобразование сохраняет вид закона распределения, то . Переходя к стандартизованному распределению , получаем:

. (4.5.4)

Распределение выборочного среднего ( неизвестно)

Если среднеквадратичное отклонение генеральной совокупности не известно, то в соотношении, аналогичном (4.5.4), вместо этого параметра используют его точечную оценку . Тогда получается соотношение

(4.5.5)

(напомним: символом обозначается как распределение Стьюдента, так и случайная величина с этим законом распределения).

Упражнение.

4.5.1. Используя представление статистики

,

а также формулы (4.5.3), (4.5.4), убедитесь в справедливости соотношения (4.5.5).